Schwankungsintervall

Grundbegriffe

Schwankungsintervall, Sicherheits- und Überschreitungswahrscheinlichkeit

Ein Schwankungsintervall für die Zufallsvariable $X\,$ ist ein Bereich mit festen Grenzen $x_{u}\,$ und $x_{o}(x_{u}\leq x_{o})$, in dem die Zufallsvariable $X$ Realisationen $x$ mit einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit $1-\alpha$ annimmt, d.h. $(1-\alpha )\cdot 100\%$ aller Realisationen von $X\,$ liegen in diesem Intervall und $\alpha$ aller Realisationen von $X\,$ außerhalb des Intervalls.

$\alpha$ wird als Überschreitungswahrscheinlichkeit bezeichnet.

Zentrales Schwankungsintervall

Konstruiert man das Intervall um den bekannten Erwartungswert $\mu$ der Zufallsvariablen $X\,$ derart, dass den beiden Bereichen außerhalb der Grenzen des Intervalls jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit $\alpha /2$ zugeordnet ist, dann heißt

$[x_{u}\leq X\leq x_{o}]=[\mu -k\leq X\leq \mu +k]$

ein zentrales Schwankungsintervall mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit

$P(x_{u}\leq X\leq x_{o})=1-\alpha$.

Um die Bedeutung der Standardabweichung als Streuungsparameter hervorzuheben, misst man die Abweichung $k$ von $\mu$ oftmals in Vielfachen von $\sigma$, so dass das zentrale Schwankungsintervall die Form

$[\mu -c\cdot \sigma \leq X\leq \mu +c\cdot \sigma ]$

hat.

Ist die Zufallsvariable $X\;N(\mu ,\sigma )$-verteilt, so folgt für $x=\mu +c\cdot \sigma$

$z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {\mu +c\cdot \sigma -\mu }{\sigma }}=c$

und $P(Z\leq z)=\Phi (z)=1-{\frac {\alpha }{2}}$.

Der Wert $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ kann für die Wahrscheinlichkeit $1-{\frac {\alpha }{2}}$ aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung entnommen werden.

Somit ist das zentrale Schwankungsintervall für eine normalverteilte Zufallsvariable mit

$[\mu -z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma \leq X\leq \mu +z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma ]$

und die Wahrscheinlichkeit dieses Intervalls mit

$P(\mu -z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma \leq X\leq \mu +z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma )=1-\alpha$

gegeben.

Wegen

$P(-z\leq Z\leq z)=P(Z\leq z)-P(Z\leq -z)=P(Z\leq z)-[1-P(Z\leq z)]=2P(Z\leq z)-1$,

folgt

$P(\mu -z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma \leq X\leq \mu +z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma )=2\Phi (z)-1$.

Für vorgegebenes $z$ lässt sich die Sicherheitswahrscheinlichkeit für das zentrale Schwankungsintervall ermitteln, z.B.

$P(\mu -z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma \leq X\leq \mu +z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma )={\begin{cases}0,6827\quad {\mbox{, wenn}}\quad z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}=1\\0,9545\quad {\mbox{, wenn}}\quad z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}=2\\0,9973\quad {\mbox{, wenn}}\quad z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}=3\end{cases}}$

Umgekehrt findet man für eine vorgegebene Sicherheitswahrscheinlichkeit $1-\alpha$ den zugehörigen $z$-Wert, z.B. für $P(\mu -z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma \leq X\leq \mu +z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma )=0,95$ den Wert $z=1,96$.

Beispiele

Schwankungsintervall

Gegeben sei eine Zufallsvariable $X\,$, die $N(100;10)$-verteilt ist.

Gesucht ist ein symmetrischer Bereich um den Mittelwert, so dass 99% der Realisationen von $X$ in diesem Bereich liegen.

$0,99\,$	$=P(x_{u}\leq X\leq x_{o})$
	$=P({\frac {x_{u}-100}{10}}\leq Z\leq {\frac {x_{o}-100}{10}})$
	$=P(-z\leq Z\leq z)$
	$=2\cdot \Phi (z)-1$
$\Phi (z)={\frac {1,99}{2}}=0,995$

Für die Wahrscheinlichkeit von 0,995 findet man aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung den Wert $z=2,58$.

Damit sind

$x_{o}=\mu +z\cdot \sigma =100+2,58\cdot 10=125,8$

$x_{u}=\mu -z\cdot \sigma =100-2,58\cdot 10=74,2$

und somit $P(74,2\leq X\leq 125,8)=0,99$.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% liegt die Zufallsvariable $X\,$ im Intervall $\left[74,2;125,8\right]$.