Normalverteilung

Grundbegriffe

Normalverteilung oder Gauß-Verteilung

Eine stetige Zufallsvariable $X$ heißt normalverteilt mit den Parametern $\mu$ und $\sigma$, abgekürzt $X\sim N(\mu ,\sigma )\,$, wenn ihre Dichtefunktion gegeben ist durch:

$f_{NV}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\quad {\mbox{, wenn }}-\infty <x<+\infty ,\ \sigma >0$

die Verteilungsfunktion ist gegeben durch:

$F_{NV}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-(t-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\;dt$

Aus der Dichtefunktion bzw. der Verteilungsfunktion ist erkennbar, dass die Normalverteilung von den beiden Parametern $\mu$ und $\sigma$ abhängt.

Diese Parameter sind der Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen $X$.

Die Normalverteilung wird auch als Gauß-Verteilung bezeichnet.

Sie ist die wichtigste stetige Verteilung, weil

• bei vielen praktischen Anwendungen zumindest näherungsweise die Verteilungsgestalt einer Normalverteilung vorliegt;
• sie eine approximative Bestimmung vieler anderer Verteilungen ermöglicht;
• sie bei einer Vielzahl von statistischen Maßzahlen als Verteilungsmodell unterstellt werden kann, wenn der Datensatz groß genug ist.

Eine normalverteilte Zufallsvariable kann theoretisch alle Werte zwischen $-\infty$ und $+\infty$ annehmen, d.h. ihr Wertebereich ist nach oben und unten unbegrenzt.

Gauß'sche Glockenkurve

Die Dichtefunktion einer Gauß-Verteilung wird auch als Gauß'sche Glockenkurve bezeichnet. Sie ist gegeben durch:

$f_{NV}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\quad {\mbox{, wenn }}-\infty <x<+\infty ,\ \sigma >0$

Zusatzinformationen

Lineare Transformation

Sei $X$ normalverteilt, $X\sim N\,(\mu ,\sigma )$ und $Y$ die durch eine Linearkombination erhaltene Zufallsvariable $Y=a+b\cdot X$ mit $b\neq 0$, dann ist $Y$ wieder normalverteilt mit $Y\sim N(a+b\mu ,\;|b|\cdot \sigma )$

Durch die Linearkombination ändert sich der Verteilungstyp nicht.

Die Werte der Parameter der transformierten Variablen ergeben sich dabei aus den Rechenregeln für den Erwartungswert und die Varianz:

$E[a+b\cdot X]=a+b\cdot E[X]$

$Var(a+b\cdot X)=b^{2}\cdot Var(X)=b^{2}\cdot {\sigma }^{2}$.

Reproduktivitätseigenschaft

Gegeben seien $n$ Zufallsvariablen $X_{1},X_{2}\ldots ,X_{n}$ die identisch normalverteilt sind: $X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}),\;E[X_{i}]=\mu _{i},\;Var(X_{i})=\sigma _{i}^{2}$.

Die Summe unabhängiger, normalverteilter Zufallsvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$, d.h.

$Y=a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\ldots +a_{n}X_{n}$ mit $a_{i}\neq 0$ für mindestens ein $i$, ist wieder normalverteilt:

$Y=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\sim N\left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\mu _{i},{\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}}}\right)$

Graphische Darstellung der Normalverteilung

Die folgende Grafik zeigt 5 Dichtefunktionen der Normalverteilung mit verschiedenen Parameterwerten für $\mu$ und $\sigma$.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=-6, to=6, dnorm(x, mean=0, sd=1), ylab="f(x)", col="black", ylim=c(0.0,1.2), lty=1, lwd=4, font.lab=2,"xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") par(new=TRUE) curve(from=-6, to=6, dnorm(x, mean=0, sd=(1/3)), ylab="f(x)", col="green", ylim=c(0.0,1.2), lty=1, lwd=4, font.lab=2,"xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") par(new=TRUE) curve(from=-6, to=6, dnorm(x, mean=0, sd=2), ylab="f(x)", col="blue", ylim=c(0.0,1.2), lty=1, lwd=4, font.lab=2,"xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") par(new=TRUE) curve(from=-6, to=6, dnorm(x, mean=1, sd=1), ylab="f(x)", col="red", ylim=c(0.0,1.2), lty=1, lwd=4, font.lab=2,"xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") par(new=TRUE) curve(from=-6, to=6, dnorm(x, mean=2, sd=1), ylab="f(x)", col="darkgreen", ylim=c(0.0,1.2), lty=1, lwd=4, font.lab=2,"xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") par(new=TRUE) legend("topright", lwd=4, col=c("black","green","blue","red","darkgreen"),c("N(0;1)","N(0;1/3)","N(0;2)","N(1;1)","N(2;1)"), bty="n") </R>

Der Parameter $\mu$ beeinflusst die Lage der Verteilung über der Abszisse.

Durch Veränderung von $\mu$ verschiebt sich die komplette Kurve ohne Veränderung ihrer Gestalt.

Durch Vergrößerung bzw. Verkleinerung des Parameters $\sigma$ wird die Dichtefunktion auseinandergezogen bzw. zusammengedrückt, gleichzeitig sinkt bzw. steigt das Maximum.

Je größer $\sigma$ ist, desto flacher und breiter ist die Kurve, je kleiner $\sigma$ desto schmaler und höher ist die Kurve.

Die nachfolgenden Abbildungen zeigen gesondert die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion der $N(2;1)$.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=-2, to=6, dnorm(x, mean=2, sd=1), ylab="f(x)", col="darkgreen", main="Dichtefunktion der N(2; 1)", ylim=c(0.00,0.4), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") </R>

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=-2, to=6, pnorm(x, mean=2, sd=1), ylab="F(x)", col="darkgreen", main="Verteilungsfunktion der N(2; 1)", ylim=c(0.00,1.0), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") </R>

Weitere Eigenschaften der Normalverteilung

• Die Dichtefunktion hat ihr globales Maximum (Modus) im Punkte $x=\mu$
• Die Dichtefunktion ist symmetrisch im Punkt $x=\mu$. Aus der Symmetrie folgt, dass auch der Median $x_{0.5}=\mu$ ist.
• Die Dichtefunktion hat an den Stellen $x_{1}=\mu -\sigma$ und $x_{2}=\mu +\sigma$ je einen Wendepunkt.
• Für $x\rightarrow -\infty$ und $x\rightarrow \infty$ nähert sich die Dichtefunktion asymptotisch dem Wert 0.

Die folgende Grafik zeigt diese Eigenschaften für die $N(2;1)$.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=-2, to=6, dnorm(x, mean=2, sd=1), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="black", ylim=c(0.0,0.4), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=1, lwd=2) abline(v=2, lwd=2) abline(v=3, lwd=2) axis(at=c(-2:6), side=1, tick=TRUE, labels=FALSE, lwd.ticks=2) </R>

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=-2, to=6, pnorm(x, mean=2, sd=1), xaxt="n", ylab="F(x)", xlab="x", col="black", ylim=c(0.0,1.0), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=1, lwd=2) abline(v=2, lwd=2) abline(v=3, lwd=2) abline(h=0.5, lwd=2, lty=3) axis(at=c(-2:6), side=1, tick=TRUE, labels=TRUE, lwd.ticks=2) </R>