Arithmetisches Mittel

Grundbegriffe

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ist der Wert, der sich ergibt, wenn die Summe aller beobachteten Merkmalsausprägungen gleichmäßig auf alle statistischen Einheiten aufgeteilt wird.

Die Berechnung des arithmetischen Mittels ist nur für metrisch skalierte Merkmale sinnvoll.

Im Gegensatz zu anderen Parametern (z.B. Modus) ist es empfindlich gegenüber Ausreißern, d.h. Extremwerte "ziehen" das arithmetische Mittel in ihre Richtung.

Arithmetisches Mittel, unklassierte Variablen

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$

Arithmetisches Mittel, klassierte und diskrete Variablen

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{j=1}^{k}x_{j}^{m}h(x_{j})=\sum \limits _{j=1}^{k}x_{j}^{m}f(x_{j})$

Bei klassierten Daten kann nur eine näherungsweise Berechnung des arithmetischen Mittels nach der obigen Formel vorgenommen werden, wobei die Klassenmitten $x_{j}^{m}$ verwendet werden.

Arithmetisches Mittel, gewogen

${\bar {x}}={\cfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\cdot g_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}g_{i}}}$

Arithmetisches Mittel, gepoolt

Sind die Beobachtungswerte in disjunkten Gruppen $D_{1},D_{2},\dots ,D_{r}$ gegeben und ist für jede Gruppe das arithmetische Mittel ${\bar {x}}_{p}$ bekannt, kann das arithmetische Mittel für den aus allen $r$ Gruppen zusammengefassten (gepoolten) Datensatz $D=D_{1}\cup \dots \cup D_{r}$, d.h. für alle Beobachtungswerte, mit der folgenden Formel berechnet werden:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{p=1}^{r}{\bar {x}}_{p}n_{p}\quad {\mbox{mit}}\quad n=\sum \limits _{p=1}^{r}n_{p}$

wobei $n_{p}$ die Anzahl der Beobachtungswerte der $p$-ten Gruppe $(p=1,\dots ,r)$ ist.

Zusatzinformationen

Null- oder Schwerpunkteigenschaft

Die Summe der Abweichungen aller beobachteten Merkmalsausprägungen vom arithmetischen Mittel ist gleich Null.

$\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})=0$

$\sum \limits _{j=1}^{k}(x_{j}-{\bar {x}})\cdot h(x_{j})=0$

Quadratische Minimumeigenschaft

Die Summe der quadratischen Abweichungen aller beobachteten Merkmalsausprägungen vom arithmetischen Mittel ist kleiner als die von einem anderen beliebigen Wert $c$.

$\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}<\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-c)^{2}$

$\sum \limits _{j=1}^{k}(x_{j}-{\bar {x}})^{2}h(x_{j})<\sum \limits _{j=1}^{k}(x_{j}-c)^{2}h(x_{j})$

Lineare Transformation

$y_{i}=a+bx_{i}\Rightarrow {\bar {y}}=a+b{\bar {x}}$

Additivität

$z_{i}=x_{i}+y_{i}\Rightarrow {\bar {z}}={\bar {x}}+{\bar {y}}$

Beispiele

Haushaltsnettoeinkommen

Von	Bis unter	Anteil Befragte
0	800	4,4%
800	1400	16,6%
1400	3000	47,1%
3000	5000	24,3%
5000	25000	7,6%

Berechnung des arithmetischen Mittels mit $x_{j}$ als Klassenmitte:

${\bar {x}}=400\cdot 0.044+1100\cdot 0.166+2200\cdot 0.471+4000\cdot 0.243+15000\cdot 0.076=17.6+182.6+1036.2+972+1140=3348.4{\mbox{ DM.}}$

Das arithmetische Mittel ist mit 3348,4 DM größer als der weiter oben berechnete Median (2385,14 DM). Eine Erklärung dafür liefert ein Blick in die Tabelle. Die relative Häufigkeit ist bei den höheren Einkommen größer als bei den geringeren Einkommen. Durch diese Tatsache wird das arithmetische Mittel in Richtung der höheren Einkommen "gezogen".

Monatliches persönliches Einkommen

${\bar {x}}$	1881,40 DM
$x_{0,25}$	1092,50 DM
$x_{0,50}$	1800,00 DM
$x_{0,75}$	2400,00 DM
$x_{D}$	2000,00 DM

Monatliches persönliches Einkommen von 716 befragten Personen