Mittlere absolute Abweichung

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Grundbegriffe

Mittlere absolute Abweichung

Das arithmetische Mittel aus den absoluten Abweichungen der Beobachtungswerte von einem bestimmten Bezugspunkt $c$ heißt mittlere absolute Abweichung, im Weiteren mit $d$ symbolisiert.

Der Bezugspunkt $c$ kann einem beliebigen Wert auf der Merkmalsachse entsprechen. Im Allgemeinen wird aber ein Mittelwert (der Median $x_{0,5}$ oder das arithmetische Mittel ${\bar {x}}$) verwendet.

Die mittlere absolute Abweichung ist ein lineares Streuungsmaß, das alle Merkmalswerte in die Berechnung einbezieht.

Die erste der folgenden Formeln wird bei nicht-klassierten Daten verwendet, wobei $x_{i}$ die Beobachtungswerte sind, und die zweite Formel bei klassierten Daten, wobei $x_{j}$ die Klassenmitte der $j$-ten Klasse ist:

$d={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}-c|$

$d={\frac {1}{n}}\sum \limits _{j=1}^{k}|x_{j}-c|\cdot h(x_{j})=\sum \limits _{j=1}^{k}|x_{j}-c|\cdot f(x_{j})$

Zusatzinformationen

Beziehung zum Median

Aus der linearen Minimumeigenschaft des Median folgt: $d(x_{0.5})<d(c)$.

Das bedeutet, dass es keinen Wert $c$ gibt, sodass die mittlere absolute Abweichung geringer wird als bei Verwendung des Medians als Bezugspunkt $(c=x_{0,5})$.

Lineare Transformation

$y_{i}=a+bx_{i}\Rightarrow d_{y}=|b|\cdot d_{x}$

Beispiele

Mittlere absolute Abweichung des Medians und arithmetischen Mittels

Beobachtungswerte: $2,5,9,20,22,23,29$

$x_{0.5}=20,\ d(x_{0.5})=8,29$

${\bar {x}}=15.71,\ d({\bar {x}})=8.90$