Geometrisches Mittel

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Univariate Statistik

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Grundbegriffe

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel wird zur Berechnung des Mittelwertes bei (mindestens) verhältnisskalierten positiven Merkmalen wie z.B. Wachstumsraten angewendet, deren Merkmalswerte multiplikativ miteinander verknüpft sind.

Wachstumsrate

, , , seien zeitlich geordnete Beobachtungswerte von einem Basiszeitraum bis zu einem Berichtszeitraum .

Die jeweilige Wachstumsrate läßt sich berechnen durch:

Mittlere Wachstumsrate

Das Produkt über alle Wachstumsraten entspricht dem Gesamtwachstum vom Basiszeitraum bis zum Berichtszeitraum .

Die mittlere Wachstumsrate ergibt sich als geometrisches Mittel der Wachstumsraten der einzelnen Zeiträume:

Prognosewert

Ausgehend von der mittleren Wachstumsrate und dem Beobachtungswert im Berichtszeitraum lässt sich ein Prognosewert für den Zeitpunkt berechnen.

Die Auflösung der obigen Gleichung nach ergibt eine Formel zur Bestimmung der Zeitdauer bis zum Erreichen eines bestimmten Beobachtungswertes in der Zukunft

Zusatzinformationen

Beziehung zum arithmetischen Mittel

Der Logarithmus des geometrischen Mittels entspricht dem arithmetischen Mittel der Logarithmen der Beobachtungswerte.

Beispiele

Bruttosozialprodukt (BSP)

Bruttosozialprodukt (BSP) der Bundesrepublik Deutschland in Preisen von 1985 (Mrd. DM)

Jahr BSP
1980 0 1733.8 -
1981 1 1735.7 1.0011
1982 2 1716.5 0.9889
1983 3 1748.4 1.0186
1984 4 1802.0 1.0307
1985 5 1834.5 1.0180
1986 6 1874.4 1.0217
1987 7 1902.3 1.0149
1988 8 1971.8 1.0365

Berechnet wird im folgenden

  • der Mittelwert (geometrisches Mittel)
  • der Prognosewert für das Jahr 1990
  • der Zeitpunkt, zu dem das BSP einen Wert von 2500 erreicht.

Der Wert des BSP von 2500 wird für das Jahr prognostiziert.

Deutscher Aktienindex (DAX)

Der Deutsche Aktienindex (DAX) hat sich in den Jahren 1990 bis 1997 gegenüber dem Vorjahr prozentual wie folgt geändert:

Jahr 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
DAX -Wert [Jahresende) 1791 1399 1579 1546 2268 2107 2254 2889 4250
DAX-Änderung -21.9% 12.9% -2.1% 46.7% -7.1% 7% 28% 47.1%

Gesucht ist die durchschnittliche jährliche Änderungsrate des DAX in den Jahren 1990 bis 1997.

Die Anwendung des arithmetischen Mittels führt, wie im Folgenden dargestellt, zu einem falschen Ergebnis:

Wird diese "durchschnittliche jährliche Änderungsrate" zur Fortschreibung des DAX ausgehend von 1989 angewendet, ergibt sich für 1997 folgender Wert:

1990 1791 1,1385 = 2093
1991 2093 1,1385 = 2383
1997 4440 1,1385 = 5055

Dieser DAX-Wert von 5055 liegt weit über dem tatsächlichen von 4250.

Den richtigen Mittelwert stellt in diesem Fall, da es sich um Wachstumsraten handelt, das geometrische Mittel dar.

Der DAX-Wert von 1990 läßt sich ausgehend vom 1989-er Wert und der relativen Änderung wie folgt berechnen:

Analog läßt sich der DAX-Wert von 1991 ausgehend vom 1990-er Wert und der relativen Änderung wie folgt berechnen:

Es liegt eine multiplikative Verknüpfung vor. Das geometrische Mittel trägt diesem Umstand Rechnung:

Die mittlere jährliche Änderungsrate des DAX in den Jahren 1990 bis 1997 beträgt 11.41%.

Wird diese "durchschnittliche jährliche Änderungsrate" zur Fortschreibung des DAX ausgehend von 1989 angewendet, ergibt sich für 1997 folgender Wert:

1990 1791 1,1141 =1995
1991 1995 1,1141 =2223
1997 3815 1,1141 =4250

Wie die Tabelle der Ausgangswerte zeigt, entspricht dieser errechnete DAX-Wert dem wahren Wert von 1997.

Wird die errechnete durchschnittliche jährliche Änderungsrate der Jahre 1990 bis 1997 als Grundlage für eine Schätzung des DAX-Wertes am Jahresende 1999 angewendet, ergibt sich ein prognostizierter Wert von: