Harmonisches Mittel

Grundbegriffe

Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel stellt einen Spezialfall des arithmetischen Mittels dar, das seine Anwendung für verhältnisskalierte Merkmale findet.

Liegen verhältnisskalierte Merkmale vor, kann es unter Umständen falsch sein, das arithmetische Mittel als Maß für einen Mittelwert zu verwenden.

Im Allgemeinen gilt:

Ist ein Mittelwert aus verhältnisskalierten Merkmalen zu bilden und sind Zusatzinformationen gegeben, die sich inhaltlich auf den Zähler des Verhältnisses $x_{j}$ beziehen $(g_{j})$, stellt das harmonische Mittel die richtige Wahl dar.

Ist ein Mittelwert aus verhältnisskalierten Merkmalen zu bilden und sind Zusatzinformationen gegeben, die sich inhaltlich auf den Nenner des Verhältnisses $x_{j}$ beziehen, stellt das arithmetische Mittel die richtige Wahl dar.

Harmonisches Mittel, einfach

${\bar {x}}_{H}={\frac {n}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$

Harmonisches Mittel, gewogen

${\bar {x}}_{H}={\frac {\sum \nolimits _{j=1}^{k}g_{j}}{\sum \nolimits _{j=1}^{k}{\frac {g_{j}}{x_{j}}}}},\,\,\,\ j=1,\dots ,k$

wobei $x_{i}\neq 0$ bzw. $x_{j}\neq 0$ gelten muss.

$X$ ist das Merkmal, zu dem der Mittelwert gesucht ist, $g_{j}$ stellt eine Zusatzinformation (Gewichtung) zur Merkmalsausprägung $x_{j}$ dar.

Beispiele

Durchschnittsgeschwindigkeit

Teilstrecke $j$	1	2	3	4
Länge $g_{j}$ in km	2	4	3	8
Geschwindigkeit $x_{j}$ in km/h	40	50	80	100

Gesucht ist die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der das Fahrzeug unterwegs war.

Über die Geschwindigkeitsangaben hinaus gibt es für jede Teilstrecke eine Zusatzinformation, die Länge $g_{j}$, die sich auf den Zähler des Verhältnis Geschwindigkeit = Weg/Zeit bezieht.

In diesem Fall ist das harmonische Mittel zur Durchschnittsberechnung anzuwenden.

Gesamtzeit: $\sum \limits _{j=1}^{k}{\frac {g_{j}}{x_{j}}}=0,2475\,h$

Gesamtstrecke: $\sum \limits _{j=1}^{k}g_{j}=17\,km$

Harmonisches Mittel: ${\bar {x}}_{H}={\frac {17}{0,2475}}={\frac {2+4+3+8}{{\frac {2}{40}}+{\frac {4}{50}}+{\frac {3}{80}}+{\frac {8}{100}}}}=68,687\,km/h$

Das arithmetische Mittel, so wie weiter oben berechnet, führt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 67,5 km/h zu einem falschen Ergebnis, da die Länge der Teilstrecken unberücksichtigt bleibt!

Eine richtige Berechnungsmöglichkeit über das arithmetische Mittel (= gewogenes arithmetische Mittel) ist möglich, wenn vorher die benötigte Zeit für jede Teilstrecke ermittelt wird, also eine Zusatzinformation, die sich auf den Nenner des Verhältnis Geschwindigkeit = Weg/Zeit bezieht,

$h_{1}=g_{1}/x_{1}=0,05;\ h_{2}=g_{2}/x_{2}=0,08;\ h_{3}=g_{3}/x_{3}=0,0375;\ h_{4}=g_{4}/x_{4}=0,08$

${\bar {x}}={\frac {40\cdot 0,05+50\cdot 0,08+80\cdot 0,0375+100\cdot 0,08}{0,05+0,08+0,0375+0,08}}=68,687\,km/h$

Nebenjob

Vier Studenten, die neben ihrem Studium jobben, haben folgenden Stundenlohn bzw. Wochenverdienst:

Student	€/h	Verdienst pro Woche in €
A	18	180
B	20	300
C	15	270
D	19	380

Gesucht ist der durchschnittliche Lohn, den die vier Studenten pro Stunde erhalten.

Die Berechnung des durchschnittlichen Stundenlohns der vier Studenten kann nicht als einfaches arithmetisches Mittel der vier Stundenlöhne erfolgen, da dabei die geleistete Wochenarbeitszeit nicht berücksichtigt wird.

Da es sich beim Stundenlohn um ein verhältnisskaliertes Merkmal (€/h) handelt und die gegebenen Zusatzinformationen (Wochenverdienst in €) sich auf den Zähler dieses Verhältnisses beziehen, stellt das harmonische Mittel den richtigen Mittelwert dar.

${\bar {x}}_{H}={\frac {\sum \limits _{j}g_{j}}{\sum \limits _{j}{\frac {g_{j}}{x_{j}}}}}={\frac {180+300+270+380}{{\frac {180}{18}}+{\frac {300}{20}}+{\frac {270}{15}}+{\frac {380}{19}}}}={\frac {1130}{63}}=17.94$

Die vier Studenten verdienen im Mittel 17.94 €/h.

Eine andere Situation ergibt sich, wenn anstelle des Wochenverdienstes die Arbeitsstunden pro Woche als Zusatzinformationen gegeben sind.

Student	€/h	Working hours
A	18	10
B	20	15
C	15	18
D	19	20

Jetzt bezieht sich die Zusatzinformation (Arbeitsstunden h) auf den Nenner des Verhältnisses (€/h).

Es kann also das arithmetische Mittel - in diesem Fall das gewogene arithmetische Mittel berechnet werden.

${\bar {x}}={\frac {18\cdot 10+20\cdot 15+15\cdot 18+19\cdot 20}{10+15+18+20}}={\frac {1130}{63}}=17.94$

Der Durchschnittslohn der vier Studenten beträgt 17.94 €/h.