Chi-Quadrat-Verteilung

Grundbegriffe

Chi-Quadrat-Verteilung

Gegeben seien $n$ voneinander unabhängige und identisch standardnormalverteilte Zufallsvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}:X_{i}\sim N(0;1)$ für $i=1,\ldots ,n$.

Dabei bezeichnet $n$ eine positive ganze Zahl.

Die Verteilung der Zufallsvariablen $Y$ als Summe der quadrierten Zufallsvariablen $X_{i}$

$Y=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\dots X_{n}^{2}$

heißt Chi-Quadrat-Verteilung mit dem Parameter $f$, oder kurz $\chi ^{2}(f)\,$.

Dieser Parameter $f$ bezeichnet die Anzahl der Freiheitsgrade. Der Wertebereich ist $Y>0$.

Für den Erwartungswert und die Varianz der chi-quadrat-verteilten Zufallsvariable $Y$ gilt:

$E[Y]=f\,$ und $Var(Y)=2\cdot f\,$.

Die Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung liegt für ausgewählte Werte des Parameters $f$ und ausgewählte Wahrscheinlichkeiten tabelliert vor.

Freiheitsgrad

Die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-Verteilung entspricht der Anzahl der unabhängigen Zufallsvariablen, die in die Summenbildung eingehen.

Sind die Zufallsvariablen $X_{i}\quad (i=1,\ldots ,n)$ unabhängig voneinander, können sie ihre Werte völlig frei annehmen.

Die Quadrierung der Zufallsvariablen und die Summenbildung ändert nichts an dieser Tatsache.

In diesem Fall weist die Chi-Quadrat-verteilte Quadratsumme

$Y=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}$

die Anzahl der Freiheitsgrade $f=n$ auf.

Zusatzinformationen

Graphische Darstellung der Chi-Quadrat-Verteilung

Die Form der Dichtefunktion hängt von dem Parameter $f$ ab. Für $f=1$ und $f=2$ fällt die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung monoton.

Für kleine Werte von $f$ sind die Dichtefunktionen der Chi-Quadrat-Verteilung deutlich rechtsschief.

Für wachsende Werte von $f$ strebt die Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.

Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktionen der Chi-Quadrat-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade $f$.