Geometrisches Mittel

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Grundbegriffe

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel wird zur Berechnung des Mittelwertes bei (mindestens) verhältnisskalierten positiven Merkmalen wie z.B. Wachstumsraten angewendet, deren Merkmalswerte multiplikativ miteinander verknüpft sind.

${\bar {x}}_{G}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}$

Wachstumsrate

$x_{0}$, $x_{1}$, $\ldots$, $x_{n}$ seien zeitlich geordnete Beobachtungswerte von einem Basiszeitraum $0$ bis zu einem Berichtszeitraum $n$.

Die jeweilige Wachstumsrate $i_{t}$ läßt sich berechnen durch:

$i_{t}=x_{t}/x_{t-1}$

$i_{1}\cdot i_{2}\cdot \ldots \cdot i_{n}=x_{n}/x_{0}$

Mittlere Wachstumsrate

Das Produkt über alle Wachstumsraten entspricht dem Gesamtwachstum vom Basiszeitraum $0$ bis zum Berichtszeitraum $n$.

Die mittlere Wachstumsrate ergibt sich als geometrisches Mittel der Wachstumsraten der einzelnen Zeiträume:

${\bar {\imath }}_{G}={\sqrt[{n}]{\,\,i_{1}\cdot i_{2}\cdot \ldots \cdot i_{n}}}={\sqrt[{n}]{\frac {x_{n}}{x_{0}}}}$

Prognosewert

Ausgehend von der mittleren Wachstumsrate und dem Beobachtungswert im Berichtszeitraum $n$ lässt sich ein Prognosewert für den Zeitpunkt $n+T$ berechnen.

$x_{n+T}^{\star }=x_{n}\cdot ({\bar {\imath }}_{G})^{T}$

Die Auflösung der obigen Gleichung nach $T$ ergibt eine Formel zur Bestimmung der Zeitdauer bis zum Erreichen eines bestimmten Beobachtungswertes in der Zukunft $x_{n+T}$

$T={\frac {\log(x_{n+T})-\log(x_{n})}{\log({\bar {\imath }}_{G})}}$

Zusatzinformationen

Beziehung zum arithmetischen Mittel

Der Logarithmus des geometrischen Mittels entspricht dem arithmetischen Mittel der Logarithmen der Beobachtungswerte.

$\log {\bar {x}}_{G}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\log x_{i}$

Beispiele

Bruttosozialprodukt (BSP)

Bruttosozialprodukt (BSP) der Bundesrepublik Deutschland in Preisen von 1985 (Mrd. DM)

Jahr	$t$	BSP $x_{t}$	$i_{t}$
1980	0	1733.8	-
1981	1	1735.7	1.0011
1982	2	1716.5	0.9889
1983	3	1748.4	1.0186
1984	4	1802.0	1.0307
1985	5	1834.5	1.0180
1986	6	1874.4	1.0217
1987	7	1902.3	1.0149
1988	8	1971.8	1.0365

Berechnet wird im folgenden

• der Mittelwert (geometrisches Mittel)
• der Prognosewert für das Jahr 1990
• der Zeitpunkt, zu dem das BSP einen Wert von 2500 erreicht.

${\bar {\imath }}_{G}={\sqrt[{8}]{\frac {1971.8}{1733.8}}}=1.0162$

$x_{1990}^{\star }=1971.8\cdot 1.0162^{2}=2036.2\,{\mbox{Bil. DM}}$

$T={\frac {\log(2500)-\log(1971.8)}{\log(1.0162)}}=14.77\,{\mbox{years.}}$

Der Wert des BSP von 2500 wird für das Jahr $1988+15=2003$ prognostiziert.

Deutscher Aktienindex (DAX)

Der Deutsche Aktienindex (DAX) hat sich in den Jahren 1990 bis 1997 gegenüber dem Vorjahr prozentual wie folgt geändert:

Jahr	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
DAX -Wert [Jahresende)	1791	1399	1579	1546	2268	2107	2254	2889	4250
DAX-Änderung		-21.9%	12.9%	-2.1%	46.7%	-7.1%	7%	28%	47.1%

Gesucht ist die durchschnittliche jährliche Änderungsrate des DAX in den Jahren 1990 bis 1997.

Die Anwendung des arithmetischen Mittels führt, wie im Folgenden dargestellt, zu einem falschen Ergebnis:

${\bar {x}}=((-21.9)+(+12.9)+(-2.1)+(+46.7)+(-7.1)+(+7.0)+(+28.2)+(+47.1))/8=110.80/8=13.85\%$

Wird diese "durchschnittliche jährliche Änderungsrate" zur Fortschreibung des DAX ausgehend von 1989 angewendet, ergibt sich für 1997 folgender Wert:

1990	1791 $\cdot$ 1,1385	= 2093
1991	2093 $\cdot$ 1,1385	= 2383
$\dots$	$\dots$
1997	4440 $\cdot$ 1,1385	= 5055

Dieser DAX-Wert von 5055 liegt weit über dem tatsächlichen von 4250.

Den richtigen Mittelwert stellt in diesem Fall, da es sich um Wachstumsraten handelt, das geometrische Mittel dar.

Der DAX-Wert von 1990 läßt sich ausgehend vom 1989-er Wert und der relativen Änderung wie folgt berechnen:

${\mbox{DAX}}_{1990}=(1+(-0.219))\cdot {\mbox{ DAX}}_{1989}=(1+(-0.219))\cdot 1791=0.781\cdot 1791=1399$

Analog läßt sich der DAX-Wert von 1991 ausgehend vom 1990-er Wert und der relativen Änderung wie folgt berechnen:

${\mbox{DAX}}_{1991}=(1+0.129)\cdot {\mbox{ DAX}}_{1990}=(1+0.129))\cdot 1399=1.129\cdot 1399=1579$

Es liegt eine multiplikative Verknüpfung vor. Das geometrische Mittel trägt diesem Umstand Rechnung:

${\begin{matrix}X_{G}&=&{\sqrt[{8}]{0.781\cdot 1.129\cdot 0.979\cdot 1.467\cdot 0.929\cdot 1.070\cdot 1.282\cdot 1.417}}\\\ &=&1.1141\end{matrix}}$

Die mittlere jährliche Änderungsrate des DAX in den Jahren 1990 bis 1997 beträgt 11.41%.

Wird diese "durchschnittliche jährliche Änderungsrate" zur Fortschreibung des DAX ausgehend von 1989 angewendet, ergibt sich für 1997 folgender Wert:

1990	1791 $\cdot$ 1,1141	=1995
1991	1995 $\cdot$ 1,1141	=2223
$\dots$	$\dots$
1997	3815 $\cdot$ 1,1141	=4250

Wie die Tabelle der Ausgangswerte zeigt, entspricht dieser errechnete DAX-Wert dem wahren Wert von 1997.

Wird die errechnete durchschnittliche jährliche Änderungsrate der Jahre 1990 bis 1997 als Grundlage für eine Schätzung des DAX-Wertes am Jahresende 1999 angewendet, ergibt sich ein prognostizierter Wert von:

${\mbox{DAX}}_{1999}={\mbox{ DAX}}_{1997}\cdot 1.1141\cdot 1.1141=4250\cdot 1.1141^{2}=5275$