Quantil

Grundbegriffe

p-Quantil

Gegeben sei eine Folge von Merkmalsausprägungen eines mindestens ordinalskalierten Merkmals $X$.

Der Punkt auf der Merkmalsachse, der eine der Größe nach in aufsteigender Folge geordnete Reihe von $n$ Merkmalswerten $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ der Anzahl nach ungefähr oder genau im Verhältnis $p:(1-p)$ mit $0\leq p\leq 1$ teilt, wird als p-Quantil $x_{p}$ bezeichnet.

p-Quantil, unklassierte Variablen

Sei $n\cdot p$ keine natürliche Zahl und $k\in \mathbb {N}$ die auf $n\cdot p$ folgende (nächst größere) natürliche Zahl, so ist das p-Quantil $x_{p}=(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$.

Sei $n\cdot p$ eine natürliche Zahl und $k=n\cdot p$, so könnte jeder Wert zwischen $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ und $(x_{k+1})_{k\in \mathbb {N} }$ als p-Quantil definiert werden. Vereinbarungsgemäß verwendet man jedoch

$x_{p}={\frac {(x_{k})+(x_{k+1})}{2}}$

p-Quantil, klassierte Variablen

Liegen klassierte Merkmale vor, ergibt sich das p-Quantil $x_{p}$ wie folgt:

$x_{p}=x_{j}^{u}+{\frac {p-F\left(x_{j}^{u}\right)}{f\left(x_{j}\right)}}\cdot \left(x_{j}^{o}-x_{j}^{u}\right)$

Darin ist $x_{j}^{u}$ die untere Klassengrenze, $x_{j}^{o}$ die obere Klassengrenze, $f(x_{j})$ die relative Häufigkeit der Quantilsklasse und $F(x_{j}^{u})$ die empirische Verteilungsfunktion der Quantilsklasse vorausgehenden Klasse.

Das p-Quantil $x_{p}$ wird durch Interpolation ermittelt. Wegen $p=F(x_{p})$ lassen sich die p-Quantile leicht aus der Grafik der empirischen Verteilungsfunktion entnehmen, wie die folgende Abbildung verdeutlicht.

<R output="display"> pdf(rpdf, width=14, height=7) par(mfrow=c(1,2)) gl <- readdataSK("gluehlampen.csv", format="csv2") barplot(gl$f_hat, names = rep("", length(gl$f_hat)), las=2, width = (gl$k_o - gl$k_u), space = 0, col="white", axes = FALSE) axis(1, at =c(1:2500), labels = rep("",2500) ,lty = 0, xpd = TRUE) axis(2, at = c(0:9), labels = rep("",10), pos = 0, xpd = TRUE, tck = 0) rect(500, 0, 666.67, 9, col = "grey") rect(100, 0, 500, 6, col = "grey") rect(0, 0, 100, 3, col = "grey") points(0, 9, pch =17, xpd = TRUE) lines(x = c(666.67,666.67), y = c(0,9), lty=1, lwd = 3) text(x = 666.67, y = -0.5, labels=expression(x[p]), xpd = TRUE) text(x = -80, y = 9, labels=expression(hat("f(x)")), xpd = TRUE) F_hat = c(0, 1, 7, 16, 19, 19) plot(c(gl$k_u, gl$k_o[4], 2500), F_hat, type = "l", axes = FALSE, ylab = "", xlab = "", xpd = TRUE, lwd = 3) axis(1, at =c(1:2500), labels = rep("",2500), xpd = TRUE, tck = 0, pos = 0) axis(2, at = c(0:21), labels = rep("",22), pos = 0, xpd = TRUE, tck = 0) points(0, 21, pch =17, xpd = TRUE) text(x = 666.67, y = -1, labels=expression(x[p]), xpd = TRUE) text(x = 2500, y = -1, labels="x", xpd = TRUE) text(x = -80, y = 22, labels= expression(hat("F(x)")), xpd = TRUE) text(x = -80, y = 10, labels= "p", xpd = TRUE) text(x = -80, y = 19, labels= "1", xpd = TRUE) lines(x = c(666.67,666.67), y = c(0, 10), lty=2) lines(x = c(0,666.67), y = c(10, 10), lty=2) lines(x = c(0,2500), y = c(19, 19), lty=2, xpd = TRUE) </R>

Median bzw. Zentralwert

Gegeben sei die in aufsteigender Folge geordnete Reihe der Merkmalsausprägungen eines mindestens ordinalskalierten Merkmals $X$.

Diejenige Merkmalsausprägung, die die Reihe in zwei gleiche Teile zerlegt, sich also an zentraler Stelle befindet, wird als Median oder Zentralwert $x_{z}=x_{0.5}$ bezeichnet. Der Median $x_{z}$ ist somit ein spezielles p-Quantil an der Stelle $p=0.5$, also $x_{0,5}$.

Er ist relativ unempfindlich gegenüber Ausreißern, also Merkmalswerten, die übermäßig stark von den anderen Werten abweichen.

Median für nicht-klassierte Merkmale

• Falls $n$ ungerade ist: $x_{0.5}=x_{({\frac {n+1}{2}})}$
• Falls $n$ gerade ist: $x_{0.5}=\left(x_{({\frac {n}{2}})}+x_{({\frac {n}{2}}+1)}\right)/2$.

Median für klassierte Merkmale

Liegen klassierte Merkmale vor, ergibt sich der Median $x_{0,5}$ wie folgt:

$x_{0.5}=x_{j}^{u}+{\frac {0.5-F(x_{j}^{u})}{f(x_{j})}}\cdot (x_{j}^{o}-x_{j}^{u})$

Dabei ist $x_{j}^{u}$ die untere Klassengrenze, $x_{j}^{o}$ die obere Klassengrenze, $f(x_{j})$ die relative Häufigkeit der Medianklasse und $F(x_{j}^{u})$ die empirische Verteilungsfunktion der Medianklasse vorausgehenden Klasse.

Der Median $x_{0,5}$ wird durch Interpolation ermittelt. Wegen $F(x_{0,5})=0.5$ lässt sich der Median leicht aus der Grafik der empirischen Verteilungsfunktion entnehmen, wie die folgende Abbildung verdeutlicht.

<R output="display"> pdf(rpdf, width=7, height=7) gl <- readdataSK("gluehlampen.csv", format="csv2") F_hat = c(0, 1, 7, 16, 19, 19) plot(c(gl$k_u, gl$k_o[4], 2500), F_hat, type = "l", axes = FALSE, ylab = "", xlab = "", xpd = TRUE, lwd = 3) axis(1, at =c(1:2500), labels = rep("",2500), xpd = TRUE, tck = 0, pos = 0) axis(2, at = c(0:21), labels = rep("",22), pos = 0, xpd = TRUE, tck = 0) points(0, 21, pch =17, xpd = TRUE) text(x = 666.67, y = -1, labels=expression(x["0,5"]), xpd = TRUE) text(x = 2500, y = -1, labels="x", xpd = TRUE) text(x = -80, y = 22, labels= "F(x)", xpd = TRUE) text(x = -80, y = 10, labels= "0,5", xpd = TRUE) text(x = -80, y = 19, labels= "1", xpd = TRUE) lines(x = c(666.67,666.67), y = c(0, 10), lty=2) lines(x = c(0,666.67), y = c(10, 10), lty=2) lines(x = c(0,2500), y = c(19, 19), lty=2, xpd = TRUE) </R>

Quartil

Als Quartil bezeichnen wir jene p-Quantile, die die geordnete Reihe der Merkmalsausprägungen in 4 gleichgroße Teile zerlegt. Es gibt also 3 Quartile:

$x_{0.25},x_{0.5},x_{0.75}$

Quintil

Als Quintil bezeichnen wir jene p-Quantile, die die geordnete Reihe der Merkmalsausprägungen in 5 gleichgroße Teile zerlegt. Es gibt also 4 Quintile:

$x_{0.2},x_{0.4},x_{0.6},x_{0.8}$

Dezil

Als Dezil bezeichnen wir jene p-Quantile, die die geordnete Reihe der Merkmalsausprägungen in 10 gleichgroße Teile zerlegt. Es gibt also 9 Dezile:

$x_{0.1},x_{0.2},\dots ,x_{0.9}$

Zusatzinformationen

Eigenschaften des Median für metrisch skalierte Merkmale

Lineare Minimumeigenschaft

$\sum \limits _{j=1}^{k}|x_{j}-x_{0.5}|\cdot f(x_{j})\rightarrow min.$

Die Summe der absoluten Abweichungen der Merkmalswerte vom Median ist ein Minimum im Vergleich zur Summe der absoluten Abweichungen der Merkmalswerte von jedem anderen beliebigen Wert.

Lineare Transformation

$y_{i}=a+bx_{i}\longrightarrow y_{0.5}=a+bx_{0.5}$

Beispiele

Haushaltsnettoeinkommen

Grafische Darstellung der Quartile

<R output="display"> pdf(rpdf, width=7, height=7) x <- c(0, 1.6, 2.1, 3, 4, 4.5, 6, 7) y <- c(0, 0.15, 0.25, 0.50, 0.69, 0.75, 1, 1) plot( x, y,xlim=c( 0, 7), ylim=c(0, 1), type="l", lwd=2, axes=FALSE, xlab="X (in DM)", ylab="F(X)", font.lab=2) axis(1, at= x, labels = c( "", "", "1536", "2385", "", "3568", "5000", ""), tck=0, pos=0) axis(2, at = y, labels = c("", "", "0.25", "0.50", "", "0.75", "1", "1"), tck = 0, las = 1, pos=0, xpd=TRUE) lines(x = c(2.1,2.1), y = c(0, 0.25), lty=2) lines(x = c(0,2.1), y = c(0.25, 0.25), lty=2) lines(x = c(3,3), y = c(0, 0.5), lty=2) lines(x = c(0,3), y = c(0.5, 0.5), lty=2) lines(x = c(4.5,4.5), y = c(0, 0.75), lty=2) lines(x = c(0,4.5), y = c(0.75, 0.75), lty=2) lines(x = c(6,7), y = c(1, 1), lty=2, col="WHITE", lwd=2) </R>

Berechnung der Quartile

Aus der empirischen Verteilungsfunktion (3. Spalte der Tabelle) ist erkennbar, dass das erste Quartil $x_{0,25}$ mit $p=0,25$ und das zweite Quartil $x_{0,5}$ mit $p=0,50$ in die dritte Klasse 1400 - 3000 DM fallen.

Diese Klasse weist eine Klassenbreite von 1600 DM auf. Das dritte Quartil $x_{0,75}$ mit $p=0,75$ liegt in der vierten Klasse 3000 - 5000 DM mit einer Klassenbreite von 2000 DM.

$x_{0,25}=1400+1600\cdot {\frac {0,25-0,21}{0.471}}=1535,88\ DM$

$x_{0.50}=1400+1600\cdot {\frac {0,50-0,21}{0,471}}=2385,14\ DM$

$x_{0.75}=3000+2000\cdot {\frac {0,75-0,681}{0,243}}=3567,90\ DM$

Interpretationen

1. Quartil: 25% der betrachteten Haushalte haben ein monatliches Haushaltsnettoeinkommen von höchstens 1535,88 DM und 75% der Haushalte ein monatliches Haushaltsnettoeinkommen größer als 1535,88 DM.

2. Quartil: 50% der Haushalte haben ein monatliches Haushaltsnettoeinkommen von höchstens 2385,14 DM und 50% der Haushalte ein monatliches Haushaltsnettoeinkommen größer als 2385,14 DM.

3. Quartil: 75% der Haushalte haben ein monatliches Haushaltsnettoeinkommen von höchstens 3567,90 DM und 25% der Haushalte ein monatliches Haushaltsnettoeinkommen größer als 3567,90 DM.

Aus der Berechnung der Quartile folgt unmittelbar, dass 50% der Haushalte ein monatliches Haushaltsnettoeinkommen zwischen 1535,88 DM und 3567,90 DM haben.

Dieser Abstand wird auch als Interquartilsabstand bezeichnet und in einem der folgenden Kapitel genauer erläutert.