Modus

Grundbegriffe

Modus oder Modalwert

Diejenige Merkmalsausprägung, die am häufigsten beobachtet wurde, wird als Modus bzw. Modalwert bezeichnet.

Er kann für alle Skalen ermittelt werden, für nominalskalierte Merkmale ist er jedoch der einzig sinnvolle Mittelwert.

Der Modus ist unempfindlich gegen Ausreißer. Eine sinnvolle Anwendung des Modus ist nur bei unimodalen Häufigkeitsverteilungen gegeben.

Modus diskreter (nicht klassierter) Merkmale

$x_{d}=\{{x_{j}|h_{j}}=\max _{x_{k}}h_{k},$ bzw. $f_{j}=\max _{x_{k}}f(x_{k})\}$

Modus klassierter kardinalskalierter Merkmale

Zur genaueren Berechnung des Modus wird nachstehende Formel verwendet.

$x_{D}=x_{j}^{u}+{\frac {{\widehat {f}}\left(x_{j}\right)-{\widehat {f}}\left(x_{j-1}\right)}{2\cdot {\widehat {f}}\left(x_{j}\right)-{\widehat {f}}\left(x_{j-1}\right)-{\widehat {f}}\left(x_{j+1}\right)}}\cdot \left(x_{j}^{o}-x_{j}^{u}\right)\quad$

mit $x_{j}^{u}$ und $x_{j}^{o}$, die untere bzw. obere Klassengrenze der Modalklasse und ${\widehat {f}}\left(x_{j}\right)$, ${\widehat {f}}\left(x_{j-1}\right)$, ${\widehat {f}}\left(x_{j+1}\right)$ die Häufigkeitsdichten der Modalklasse und der Klasse vor bzw. nach der Modalklasse.

Modalklasse

Bei klassierten Merkmalen befindet sich der Modus in der Klasse mit der größten Häufigkeitsdichte, der sogenannten Modalklasse.

Unimodale Verteilung

Weißt eine Häufigkeitsverteilung bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung nur einen einzigen Modus auf, so spricht man von einer unimodalen Verteilung.

Multimodale Verteilung

Eine multimodale Verteilung weißt, im Gegensatz zu einer unimodalen Verteilung, mehrere Modi auf.

Beispiele

Lebensdauer von Glühlampen

Untersuchung der Lebensdauer (in Stunden) von 100 Glühlampen.

$x_{j}^{u}\leq X<x_{j}^{o}$	$h\left(x_{j}\right)$	$f\left(x_{j}\right)$	${\widehat {f}}\left(x_{j}\right)$	$F\left(x_{j}\right)$
0 - 100	1	0,01	0,0001	0,01
100 - 500	24	0,24	0,0006	0,25
500 - 1000	45	0,45	0,0009	0.70
1000 - 2000	30	0,30	0,0003	1,00
Summe	100	1,00

Modalklasse (am dichtesten besetzte Klasse bzw. Klasse mit den meisten Beobachtungen): 500 - 1000 Stunden

• (grober) Modus (= Klassenmitte der Modalklasse)

$0,5\cdot (x_{j}^{o}+x_{j}^{u})=750$ Stunden

• Feinberechnung:

$x_{D}=500+{\frac {9-6}{18-6-3}}\cdot 500=666,67$

Unter den 100 untersuchten Glühlampen trat am häufigsten eine Lebensdauer von 666,67 Stunden auf.