Diskrete Gleichverteilung

Grundbegriffe

Diskrete Gleichverteilung

Eine diskrete Zufallsvariable $X$ mit den endlich vielen Realisationen $x_{i}\,(i=1,...,n)$ heißt gleichverteilt, wenn jeder Wert von $X$ die gleiche Wahrscheinlichkeit der Realisierung hat.

Die diskrete Gleichverteilung weist den Parameter $n$ auf.

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Gleichverteilung gilt:

$f(x_{i})={\begin{cases}{\frac {1}{n}}\quad &{\mbox{, wenn }}i=1,\dots ,n\\0\quad &{\mbox{, sonst }}\end{cases}}$

Für die Verteilungsfunktion einer diskreten Gleichverteilung gilt:

$F(x)={\begin{cases}0&{\mbox{, wenn }}x<x_{1}\\{\frac {i}{n}}\quad &{\mbox{, wenn }}x_{i}\leq x\leq x_{i+1};\quad i=1,\dots n-1\\1\quad &{\mbox{, wenn }}\ x_{n}\leq x\end{cases}}$

Für den Erwartungswert und die Varianz einer diskreten gleichverteilten Zufallsvariablen erhält man:

$E[X]=\mu ={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$

$Var(X)=\sigma ^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}$

Beispiele

Würfel

Die grafische Darstellung einer diskreten Gleichverteilung ist bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion ein Stab- oder Balkendiagramm und bei der Verteilungsfunktion eine Treppenfunktion.

Ein typisches Beispiel für eine diskrete Gleichverteilung ist das einmalige Werfen eines idealen Würfels.

Die diskrete Zufallsvariable $=\{{\mbox{Augenzahl}}\}$ kann nur die ganzzahligen Werte im Intervall $\,[1;6]$ annehmen.

Aufgrund der Voraussetzung eines idealen Würfels hat nach der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit jede Realisation von $X$ die Wahrscheinlichkeit

$\,f(x_{i})={\frac {1}{6}}$ für $i=1,\dots ,6$.