Vierfeldertafel

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung • Mengenlehre • Wahrscheinlichkeit • Additionssatz • Bedingte Wahrscheinlichkeit • Multiplikationssatz • Unabhängige Ereignisse • Vierfeldertafel • Satz der totalen Wahrscheinlichkeit • Theorem von Bayes • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen

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Grundbegriffe

Vierfeldertafel oder Wahrscheinlichkeitstabelle

In vielen Anwendungsfällen mit zwei statistischen Merkmalen oder stochastischen Ereignissen ordnet man relative Häufigkeiten (Merkmale) oder Wahrscheinlichkeiten (Ereignisse) in einer Vierfeldertafel, bzw. bei Wahrscheinlichkeiten auch Wahrscheinlichkeitstabelle, an.

Die Vierfeldertafel ist ein Spezialfall der Kontingenztabelle.

Diese Darstellungsform erleichtert die Übersicht.

	Ereignis $\,B$	Ereignis ${\overline {B}}$	Summe
Ereignis $\,A$	$P(A\cap B)$	$P(A\cap {\overline {B}})$	$\,P(A)$
Ereignis ${\overline {A}}$	$P({\overline {A}}\cap B)$	$P({\overline {A}}\cap {\overline {B}})$	$P({\overline {A}})$
Summe $\,S$	$\,P(B)$	$P({\overline {B}})$	$\,P(S)=1$

Mittels einer Vierfeldertafel, die wie hier Wahrscheinlichkeiten enthält, lässt sich schnell überprüfen, ob zwei Ereignisse $A$ und $B$ voneinander unabhängig sind:

Man erhält dann die Wahrscheinlichkeit jeder Schnittmenge durch Multiplikation der zugehörigen Randwahrscheinlichkeiten.

Randwahrscheinlichkeit oder Randhäufigkeit

Die Wahrscheinlichkeiten in der letzten Zeile und in der letzten Spalte der obenstehenden Vierfeldertafel heißen Randwahrscheinlichkeiten oder Randhäufigkeiten, wenn die Tabelle relative Häufigkeiten enthält.

Die Summe der Randwahrscheinlichkeiten bzw. der Randhäufigkeiten muss in jedem Falle Eins ergeben.

Also ist der Tabelleneintrag unten rechts immer eine Eins.

Beispiele

Wahrscheinlichkeitstabelle

Betrachten Sie folgende gemeinsame Vierfeldertafel. Sind die Ereignisse $A$ und $B$ voneinander unabhängig?

	Ereignis $\,B$	Ereignis ${\overline {B}}$	Summe
Ereignis $\,A$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{2}}$
Ereignis ${\overline {A}}$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{2}}$
Summe	${\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{3}}$	$1$

Bei Unabhängigkeit müssen alle Einträge im Inneren der Tafel das Produkt der zugehörigen Randwahrscheinlichkeiten sein (Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit).

Im vorliegenden Beispiel müsste gelten:

	Ereignis $\,B$	Ereignis ${\overline {B}}$	Summe
Ereignis $\,A$	${\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{2}}$
Ereignis ${\overline {A}}$	${\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{2}}$
Summe	${\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{3}}$	$1$

Man kann leicht nachrechnen, dass die Gleichungen in der Tafel wahre Aussagen sind. In diesem Beispiel sind daher die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig.