Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung

Dieser Artikel behandelt die zweidimensionale Häufigkeitsverteilung. Für den eindimensionalen Fall siehe: Eindimensionale Häufigkeitsverteilung.

Grundbegriffe

Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung

Gegeben sind

• ein Merkmal $X\;$ mit den Ausprägungen $x_{i}\quad (i=1,\ldots ,m)$
• ein Merkmal $Y\;$ mit den Ausprägungen $y_{j}\quad (j=1,\ldots ,r)$

Die Gesamtheit aller auftretenden Kombinationen $(x_{i},y_{j})$ von Merkmalsausprägungen $x_{i}$, $y_{j}$ und den dazugehörigen zweidimensionalen absoluten bzw. relativen Häufigkeiten wird als zweidimensionale Häufigkeitsverteilung bezeichnet.

Ausprägungskombination

Die Anzahl der möglichen Ausprägungskombinationen $(x_{i},y_{j})={(X=x_{i})\ \cap \ (Y=y_{j})}$ ist gleich der insgesamt möglichen Kombinationen von Merkmalsausprägungen der beiden Merkmale (Produkt $(m\cdot r)$ aus der Zahl der Ausprägungen des Merkmals $X\;$ und der Zahl der Ausprägungen des Merkmals $Y\;$).

Zweidimensionale absolute Häufigkeit

Die Anzahl der statistischen Einheiten, bei denen eine bestimmte Ausprägungskombination $(x_{i};y_{j})$ auftritt, heißt zweidimensionale absolute Häufigkeit:

$h(x_{i},y_{j})=h_{ij}$

Es gilt: $\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}h(x_{i},y_{j})=n$

Zweidimensionale relative Häufigkeit

Der Anteil der zweidimensionalen absoluten Häufigkeit einer bestimmten Ausprägungskombination $(x_{i},y_{j})$ an der Gesamtzahl $n$ der Beobachtungen heißt zweidimensionale relative Häufigkeit:

$f(x_{i},y_{j})=f_{ij}=h(x_{i},y_{j})/n$

Es gilt: $\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}f(x_{i},y_{j})=1$

Zweidimensionale Häufigkeitstabelle, Kontingenztabelle oder Kreuztabelle

Eine geeignete Darstellungsform für die gemeinsame Häufigkeitsverteilung zweier nominalskalierter oder ordinalskalierter Merkmale sowie metrisch diskreter Variablen mit wenigen Ausprägungen ist die zweidimensionale Häufigkeitstabelle (auch zweidimensionale Kontingenztabelle oder Kreuztabelle).

Sie hat die folgende Form:

Merkmal $X\;$	Merkmal $Y\;$					RV $X$
	$y_{i}$	$\cdots$	$y_{j}$	$\cdots$	$y_{r}$
$x_{1}$	$h_{11}$	$\cdots$	$h_{1j}$	$\cdots$	$h_{1r}$	$h_{1\bullet }$
$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\vdots$
$x_{i}$	$h_{i1}$	$\cdots$	$h_{ij}$	$\cdots$	$h_{ir}$	$h_{i\bullet }$
$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\vdots$
RV $Y\;$	$h_{\bullet 1}$	$\cdots$	$h_{\bullet j}$	$\cdots$	$h_{\bullet r}$	$h_{\bullet \bullet }=n$

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Kreuztabellen

Beispiele

Berufsgruppe und sportliche Betätigung

$X\;$ - Berufsgruppe (nominalskaliert)

$Y\;$ - sportliche Betätigung (nominalskaliert)

$n$ = 1000 berufstätige Personen

Kontingenztabelle:

Berufsgruppe $X\;$	sportliche Betätigung $Y\;$			RV $X\;$
	kaum	manchmal	regelmäßig
Arbeiter	240	120	70	430
Angestellter	160	90	90	340
Beamter	30	30	30	90
Landwirt	37	7	6	50
sonstiger freier Beruf	40	32	18	90
RV $Y\;$	507	279	214	1000

Haushaltsnettoeinkommen

Von 10 Zwei-Personen-Haushalten wurden jeweils das monatliche Haushaltsnettoeinkommen (metrisch skaliert) sowie die Konsumausgaben (metrisch skaliert) ermittelt.

Die Ergebnisse sind in folgender Tabelle dargestellt:

Haushalt $(i)$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
HH-Nettoeinkommen in Euro $x_{i}$	3500	5000	4300	6100	1000	4800	2900	2400	5600	4100
Konsumausgaben in Euro $y_{i}$	2000	3500	3100	3900	900	3000	2100	1900	2900	2100

Rauchen und Lungenkrebs

An $n=100$ zufällig ausgewählten Personen wird festgestellt, ob sie rauchen und ob bei ihnen Lungenkrebs aufgetreten ist. Die Variablen sind

• $X\;$ - "Rauchen" mit den Ausprägungen $x_{1}=$ ja und $x_{2}=$ nein
• $Y\;$ - Auftreten von "Lungenkrebs" mit den Ausprägungen $y_{1}=$ ja und $y_{2}$ = nein

Die zweidimensionale Häufigkeitsverteilung wird durch eine $2\times 2$ Kontingenztabelle dargestellt.

	Lungenkrebs ja $(y_{1})$	Lungenkrebs nein $(y_{2})$	RV $X\;$
Rauchen ja $(x_{1})$	10	15	25 $(h_{1\bullet })$
Rauchen nein $(x_{2})$	5	70	75 $(h_{2\bullet })$
RV $Y\;$	15 $(h_{\bullet 1})$	85 $(h_{\bullet 2})$	100 $(n)$

Die Zahlen in der Tabelle haben z.B. folgende Bedeutung: An $10$ der zufällig ausgewählten Personen wurde beobachtet, dass sie Rauchen und dass bei ihnen Lungenkrebs aufgetreten ist.

Von allen befragten Personen rauchen 25.

Bei 85 der befragten Personen trat kein Lungenkrebs auf.

Kundenerfassung

Für den Datensatz "Kaufhaus" wurden $n=165$ Kunden eines großen Kaufhauses zufällig ausgewählt und folgende Variablen mit den angegebenen Ausprägungen erfasst:

• $X\;$ - "Geschlecht" mit den Ausprägungen 1 (männlich) und 2 (weiblich),
• $Y\;$ - "Zahlungsart" mit den Ausprägungen 1 (Barzahlung), 2 (EC-Karte) und 3 (Kreditkarte) und
• $Z\;$ - "Wohnort" mit den Ausprägungen 1 (Berlin) und 2 (nicht Berlin).

Nachfolgend sind die drei möglichen zweidimensionalen Häufigkeitsverteilungen aufgeführt, die sich aus den Variablen dieser Daten bilden lassen. Neben den absoluten Häufigkeiten $h_{ij}$ sind in Klammern die relativen Häufigkeiten $f_{ij}$ (gerundet auf drei Dezimalstellen) angegeben.

Die zweidimensionale Häufigkeitsverteilung für die Variablen "Geschlecht" und "Zahlungsart" ist eine $2\times 3$ Kontingenztabelle.

Geschlecht $(X)\;$	Zahlungsart $(Y)\;$			RV $X\;$
	Bar $(y_{1})$	EC-Karte $(y_{2})$	Kreditkarte $(y_{3})$
männlich $(x_{1})$	31 (0,188)	32 (0,194)	23 (0,139)	86 (0,521)
weiblich $(x_{2})$	30 (0,182)	29 (0,176)	20 (0,121)	79 (0,479)
RV $Y\;$	61 (0,370)	61 (0,370)	43 (0,260)	165 (1,00)

Die zweidimensionale Häufigkeitsverteilung für die Variablen "Geschlecht" und "Wohnort" ist eine $2\times 2$ Kontingenztabelle.

Geschlecht $(X)\;$	Wohnort $(Z)\;$		RV $X\;$
	Berlin $(z_{1})$	nicht Berlin $(z_{2})$
männlich $(x_{1})$	50 (0,303)	36 (0,218)	86 (0,521)
weiblich $(x_{2})$	37 (0,224)	42 (0,255)	79 (0,429)
RV $Y\;$	87 (0,527)	78 (0,473)	165 (1,00)

Die zweidimensionale Häufigkeitsverteilung für die Variablen "Wohnort" und "Zahlungsart" ist eine $2\times 3$ Kontingenztabelle.

Wohnort $(Z)\;$	Zahlungsart $(Y)\;$			RV $X\;$
	Bar $(y_{1})$	EC-Karte $(y_{2})$	Kreditkarte $(y_{3})$
Berlin $(z_{1})$	44 (0,267)	22 (0,133)	21 (0,127)	87 (0,527)
nicht Berlin $(z_{2})$	17 (0,103)	39 (0,237)	22 (0,133)	78 (0,473)
RV $Y\;$	61 (0,370)	61 (0,370)	43 (0,260)	165 (1,00)