Wahrscheinlichkeitsrechnung/Lösungen

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15 Cent

  • {weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen mit Zurücklegen}

  • {weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen}

1950–2000

= {keine Person erlebt das Jahr 2000}
= {eine Person erlebt das Jahr 2000}

= {alle 10 Personen erleben das Jahr 2000}
, ,
und

Altbauwohnung

  • Wir betrachten die Ereignisse:

    • F: Wasserzufuhr friert ein

    • S: Strom fällt aus

    • W: Es ist Winterzeit.

    Aus dem Aufgabentext lassen sich folgende Informationen entnehmen:

    1. Sowohl im Winter (i.e. gegeben Winter) als auch im Sommer treten die beiden Missstände unabhängig voneinander auf.

    2. So friert natürlich das Wasser nur ein, wenn es Winter ist, und zwar mit 80%iger Wahrscheinlichkeit.

    3. Der Strom fällt aber, selbst wenn es nicht Winter ist, mit 40%iger Wahrscheinlichkeit aus. Das entspricht der gleichen Wahrscheinlichkeit, mit der der Strom, wenn es Winter ist, nicht ausfällt.

    4. Gehen Sie davon aus, dass die Winterzeit 30% der gesamten Jahreszeit ausmacht.

  • Gesucht ist . Um diese unbekannte Wahrscheinlichkeit auf die bekannten zurückzuführen, verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:

  • Gesucht ist . Wieder verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

  • Gesucht ist :

  • Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit . Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit auf die gerade berechneten Wahrscheinlichkeiten zurückführen:

  • Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit . Wieder mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt

  • Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit . Mit der Formel für die Vereinigung zweier Ereignisse gilt unter Verwendung der Ergebnisse der vorherigen Teilaufgaben

  • Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit . Wir nutzen die Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit und erhalten

Alter

{ein Zehnjähriger wird 40 Jahre alt};
{ein Zehnjähriger wird 70 Jahre alt};
; ( !); Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit

Angler

= {Angeln am See i}; ;
{Angler hat etwas gefangen}; ; ;
; Formel für totale Wahrscheinlichkeit
; Satz von Bayes

Antriebswellen

  • Für die Überprüfung der -ten Welle, mit , bezeichne

das Ergebnis des -ten Durchgangs des Zufallsexperiments. Damit ist die Menge aller Ergebnisse des Zufallsexperiments für die Überprüfung einer Welle gegeben durch mit den Elementarereignissen Nun bestimmen wir mithilfe der absoluten Häufigkeiten die relativen Häufigkeiten für die beiden Ergebnisse “kein Auschuss” und “Auschuss” in unserer Stichprobe vom Umfang 10000. Die relativen Häufigkeiten ziehen wir heran, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu schätzen:

  • Von Mises, Pearson, Fisher, u. a., fassten Wahrscheinlichkeiten als den Grenzwert der relativen Häufigkeiten auf, wenn die Anzahl unabhängiger Wiederholungen des Zufallsexperiments gegen unendlich strebt (frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff). In unserem Beispiel bedeutet dies: wobei die relative Häufigkeit in Bezug auf eine Stichprobe vom Umfang angibt. Da hier relativ groß ist, gehen wir davon aus, dass die relativen Häufigkeiten annähernd den Wahrscheinlichkeiten entsprechen.

Aufzug

  • Ergebnisse: mit Person 1 steigt in Etage aus, Person 2 in Etage und Person 3 in Etage
  • Elementarereignisse: mit
  • Ereignisraum:
  • Anzahl der Elementarereignisse:

Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln mit Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle:


Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln ohne Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle:

Augenzahl eines Würfels

,

Ausschussteile

Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit:

Banknoten

Es sei E: Bankangestellter erkennt gefälschte Banknote und B: Die Banknote ist echt.
Gegeben: ; ; .
Gesucht:
Anwendung des Satzes von Bayes:

Bauernwirtschaft

  • Wir interessieren uns dafür, ob ein Bauernhof 0, 1 oder 2 Traktoren und, ob er 0, 1 oder 2 Pflüge zur Verfügung hat. Gegeben die Interpretation des Ereignisraum als Menge der Ereignisse, die wir unterscheiden, definieren wir daher mit = {0,0}, = {0,1}, = {0,2}, = {1,0}, = {1,1}, = {1,2}, = {2,0}, = {2,1}, .
  • Da wir ein karteisches Produkt zweier jeweils 3-elementiger Wahrscheinlichkeitsräume betrachten,und dementsprechend Reihenfolge und Wiederholung möglich ist, können wir die folgende Formel verwenden:
  • Es sind genau ein Traktor und ein Pflug vorhanden.

Biergärten

Gegeben:

A= {Gast aus Biergarten A},
B= {Gast aus Biergarten B},
C= {Gast aus Biergarten C},
U= {unzufriedener Gast } mit

Gesucht:

Theorem von Bayes:

Blumen

{Rose, Rose}, {Narzisse, Narzisse}, {Lilie, Lilie}
{zwei Blumen gleicher Art}

Bus

{Besuch bei der Freundin}, {Erscheinen in der Universität}
, ,
{Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus zur Universität als erster kommt}
{Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus zur Freundin als erster kommt}
{, , …, } mit für günstige Minute


Abfahrtszeiten zur Universität sind somit , und
Die Universität hat somit nicht die gleiche Chance, da nur 2 Minuten Wartezeit auf den Bus zur Universität und bei allen anderen Minuten kommt der Bus zur Freundin zuerst.
Gleiche Chance wäre bei Abfahrtszeiten des Bus , und gegeben.

Eigener PKW

= "Bürokraft ist weiblich"
= "Bürokraft ist männlich"
= "Bürokraft kommt mit dem PKW zur Arbeit"


Eignungstest

Die Ereignisse und
bilden eine vollständige Zerlegung des Ereignisraums . Gegeben ist . Aufgrund von folgt .
Ferner sind ein zufälliges Ereignis und die bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses und =0,10 gegeben.
Gesucht wird die bedingte Wahrscheinlichkeit . Diese lässt sich nach dem Theorem von Bayesberechnen. Für resultiert:

Elemente eines Ereignisraumes

  • Für eine Zerlegung von muss u.a. gelten: , d.h. es müsste sein und somit . Da ist, gilt diese Behauptung nicht. Außerdem müssten die Ereignisse und disjunkt sein, was nicht der Fall ist (siehe c).
  • Wenn und komplementär wären, müsste gelten: und somit . Da ist, gilt diese Behauptung nicht.
  • Für disjunkte Ereignisse gilt und somit (Berechnung unter d).



oder
mit und
Die Ereignisse und sind unabhängig.

Entwicklungsabteilung

  • = {Entwicklungsabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}

= {Marketingabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}
= {Geschäftsleitung ist für Markteinführung des neuen Produkts}
;
;
;

Ereignisoperationen

; ; ;
; ; ;

Ereignisraum

Allgemein gilt:

  • falsch: und
  • falsch: aber
  • falsch:
  • richtig:

Erregertest

I: Mit Bazillus infiziert; E: Erkennen des Bazillus durch Test (positiver Befund)
Gegeben:


Daraus ergeben sich:

Gesucht:


Fachbereichsrat

{drei Professoren werden gewählt}
Anzahl mögliche Fälle:
Anzahl günstiger Fälle für :

Fahrrad oder Straßenbahn

Ereignisse:


Gegeben:

Gesucht:

Felgen

  • = {(2,1,4,3), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (3,1,4,2), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,3,1,2), (4,3,2,1)}

Fernschreiben

= {Fehler bei 1. übertragung}; = {Fehler bei 2. übertragung}
{Fehler bei 1. und 2. übertragung};

Fernsehshow


Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit auf jedes Verfahren:


1. Verfahren:
: ,
: ,

2. Verfahren:
: ,
: ,

Fußballmannschaft

{Gewinn beim 1. Spiel}; {Gewinn beim 2. Spiel}; {Gewinn beim 3. Spiel};

{Gewinnspiele überwiegen} =

Gangsterbande

Ereignisse:
;
,

Gegeben:

Gesucht:

Garderobe

Es gibt 5! Möglichkeiten, jedem Mann einen Hut zuzuordnen. Eine davon ist im Sinne der Aufgabe nur günstig.
{jeder Mann bekommt seinen Hut},

Geburtstag

  • Dafür muss man die Gegenwahrscheinlichkeit benutzen:

    • : Min. ein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag

    • : Kein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag

    Wenn die