Bedingte Verteilung (stochastisch)

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Zufallsvariable

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Grundbegriffe

Bedingte Verteilung oder bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion diskreter Zufallsvariablen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die diskrete Zufallsvariable X zu einem bestimmten Wert x_{i} realisiert, unter der Bedingung, dass die diskrete Zufallsvariable Y einen Wert y_{j} angenommen hat , ist: P(X=x_{i}|Y=y_{j}).

Analog ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die diskrete Zufallsvariable Y zu einem bestimmten Wert y_{i} realisiert, unter der Bedingung, dass die diskrete Zufallsvariable X einen Wert x_{j} angenommen hat: P(Y=y_{j}|X=x_{i}).

Aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Def. bedingte Wahrscheinlichkeit) ist bekannt:

P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \qquad P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Mit A=\{X=x_{i}\} und B=\{Y=y_{j}\} folgt

P(X = x_i |Y = y_j) = \frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)} = \frac{f(x_i,y_j)}{f(y_j)} = f(x_i |y_j)
P(Y = y_j |X = x_i) = \frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(X=x_i)} = \frac{f(x_i,y_j)}{f(x_i)} = f(y_j |x_i)

Die bedingten Verteilungen der diskreten Zufallsvariablen X und Y sind somit gegeben durch

f(x_i |y_j) = \frac{f(x_i,y_j)}{f(y_j)} \qquad f(y_j |x_i) = \frac{f(x_i,y_j)}{f(x_i)}

Bedingte Verteilung oder bedingte Dichtefunktion stetiger Zufallsvariablen

Die bedingten Verteilungen der stetigen Zufallsvariablen X und Y sind gegeben durch

 f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f(y)} \qquad f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f(x)}

Verteilungsfunktion der bedingten Verteilung oder bedingte Verteilungsfunktion

Die bedingten Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen X und Y ergeben sich zu:

F(x|y)=\frac{F(x,y)}{F_{x}(y)}=\begin{cases}
\frac{\sum\nolimits_{i=-\infty }^{x}\sum\nolimits_{j=-\infty }^{y}f(x_{i},y_{j})}{\sum\nolimits_{i=-\infty }^{+\infty }\sum\nolimits_{j=-\infty}^{y}f(x_{i},y_{j})} & \mbox{, wenn } X \mbox{ und } Y \mbox{ diskret}\\\\
\frac{\int\nolimits_{-\infty }^{x}\int\nolimits_{-\infty }^{y}f(u,v)\,dv\,du}{\int\nolimits_{-\infty }^{+\infty }\int\nolimits_{-\infty }^{y}f(u,v)\,dv\,du} & \mbox{, wenn }X \mbox{ und } Y\mbox{ stetig}\end{cases}

F(y|x)=\frac{F(x,y)}{F_{y}(x)}=\begin{cases}
\frac{\sum\nolimits_{i=-\infty }^{x}\sum\nolimits_{j=-\infty }^{y}f(x_{i},y_{j})}{\sum\nolimits_{i=-\infty }^{x}\sum\nolimits_{j=-\infty }^{+\infty}f(x_{i},y_{j})}&\mbox{, wenn }X \mbox{ und } Y\mbox{ diskret} \\\\
\frac{\int\nolimits_{-\infty }^{x}\int\nolimits_{-\infty }^{y}f(u,v)\,dv\,du}{\int\nolimits_{-\infty }^{x}\int\nolimits_{-\infty }^{+\infty }f(u,v)\,dv\,du} &  \mbox{, wenn }X \mbox{ und } Y\mbox{ stetig}\end{cases}

Beispiele

Wahlbeteiligung und politisches Interesse

Bei einer Umfrage wurden die Einwohner einer Stadt nach

sowie
  • dem persönlichen politischen Interesse (Zufallsvariable Y\;) mit den möglichen Realisationen y_{1}= sehr stark, y_{2}= stark, y_{3}= mittel, y_{4}= wenig und y_{5}= überhaupt nicht.

befragt.

Die folgende Kontingenztabelle enthält die Werte der zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktion der beiden Zufallsvariablen:

Wahlbeteiligung (X)\; politisches Interesse (Y)\; RV (X)\;
sehr stark \left( y_{1}\right) stark \left( y_{2}\right) mittel \left(y_{3}\right) wenig \left( y_{4}\right) überhaupt nicht \left( y_{5}\right)
ja (x_{1}) 0,107 0,196 0,398 0,152 0,042 0,895
nein (x_{2}) 0,006 0,011 0,036 0,031 0,021 0,105
RV Y\; 0,113 0,207 0,434 0,183 0,063 1,000

Aus dieser gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung können die bedingten Verteilungen ermittelt werden.

Verteilungen für Y bedingt auf X

Kontingenztabelle mit bedingten Wahrscheinlichkeiten f(y_j | x_i):

Wahlbeteiligung (X)\; politisches Interesse (Y)\;
sehr stark \left( y_{1}\right) stark \left(  y_{2}\right) mittel \left( y_{3}\right) wenig \left( y_{4}\right) überhaupt nicht \left( y_{5}\right)
ja (x_{1}) 0,120 0,219 0,444 0,170 0,047 1,00
nein (x_{2}) 0,057 0,105 0,343 0,295 0,200 1,00

Für einen zufällig ausgewählten Einwohner, der sich an der Wahl beteiligt hat (X =\; ja), ist z.B. die Wahrscheinlichkeit eines starken politischen Interesses 0,219.

Dagegen beträgt für einen zufällig ausgewählten Einwohner, der sich nicht an der Wahl beteiligt hat (X =\; nein), die Wahrscheinlichkeit eines starken politischen Interesses 0,105.

Verteilungen für X bedingt auf Y

Kontingenztabelle mit bedingten Wahrscheinlichkeiten f(x_j | y_i):

Wahlbeteiligung (X)\; politisches Interesse (Y)\;
sehr stark \left( y_{1}\right) stark \left( y_{2}\right) mittel \left( y_{3}\right) wenig \left( y_{4}\right) überhaupt nicht \left( y_{5}\right)
ja (x_{1}) 0,947 0,947 0,917 0,831 0,667
nein (x_{2}) 0,053 0,053 0,083 0,169 0,333
1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

Für einen zufällig ausgewählten Einwohner, der z. B. wenig politisches Interesse hat (Y =\; wenig), beträgt die Wahrscheinlichkeit einer Wahlbeteiligung (X = ja) 0,831.