Bedingte Verteilung (stochastisch)

Grundbegriffe

Bedingte Verteilung oder bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion diskreter Zufallsvariablen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die diskrete Zufallsvariable $X$ zu einem bestimmten Wert $x_{i}$ realisiert, unter der Bedingung, dass die diskrete Zufallsvariable $Y$ einen Wert $y_{j}$ angenommen hat , ist: $P(X=x_{i}|Y=y_{j})$.

Analog ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die diskrete Zufallsvariable $Y$ zu einem bestimmten Wert $y_{i}$ realisiert, unter der Bedingung, dass die diskrete Zufallsvariable $X$ einen Wert $x_{j}$ angenommen hat: $P(Y=y_{j}|X=x_{i})$.

Aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Def. bedingte Wahrscheinlichkeit) ist bekannt:

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\qquad P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$

Mit $A=\{X=x_{i}\}$ und $B=\{Y=y_{j}\}$ folgt

$P(X=x_{i}|Y=y_{j})$	$={\frac {P(X=x_{i},Y=y_{j})}{P(Y=y_{j})}}$	$={\frac {f(x_{i},y_{j})}{f(y_{j})}}$	$=f(x_{i}|y_{j})$
$P(Y=y_{j}|X=x_{i})$	$={\frac {P(X=x_{i},Y=y_{j})}{P(X=x_{i})}}$	$={\frac {f(x_{i},y_{j})}{f(x_{i})}}$	$=f(y_{j}|x_{i})$

Die bedingten Verteilungen der diskreten Zufallsvariablen $X$ und $Y$ sind somit gegeben durch

$f(x_{i}|y_{j})={\frac {f(x_{i},y_{j})}{f(y_{j})}}\qquad f(y_{j}|x_{i})={\frac {f(x_{i},y_{j})}{f(x_{i})}}$

Bedingte Verteilung oder bedingte Dichtefunktion stetiger Zufallsvariablen

Die bedingten Verteilungen der stetigen Zufallsvariablen $X$ und $Y$ sind gegeben durch

$f(x|y)={\frac {f(x,y)}{f(y)}}\qquad f(y|x)={\frac {f(x,y)}{f(x)}}$

Verteilungsfunktion der bedingten Verteilung oder bedingte Verteilungsfunktion

Die bedingten Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen $X$ und $Y$ ergeben sich zu:

$F(x|y)={\frac {F(x,y)}{F_{x}(y)}}={\begin{cases}{\frac {\sum \nolimits _{i=-\infty }^{x}\sum \nolimits _{j=-\infty }^{y}f(x_{i},y_{j})}{\sum \nolimits _{i=-\infty }^{+\infty }\sum \nolimits _{j=-\infty }^{y}f(x_{i},y_{j})}}&{\mbox{, wenn }}X{\mbox{ und }}Y{\mbox{ diskret}}\\\\{\frac {\int \nolimits _{-\infty }^{x}\int \nolimits _{-\infty }^{y}f(u,v)\,dv\,du}{\int \nolimits _{-\infty }^{+\infty }\int \nolimits _{-\infty }^{y}f(u,v)\,dv\,du}}&{\mbox{, wenn }}X{\mbox{ und }}Y{\mbox{ stetig}}\end{cases}}$

$F(y|x)={\frac {F(x,y)}{F_{y}(x)}}={\begin{cases}{\frac {\sum \nolimits _{i=-\infty }^{x}\sum \nolimits _{j=-\infty }^{y}f(x_{i},y_{j})}{\sum \nolimits _{i=-\infty }^{x}\sum \nolimits _{j=-\infty }^{+\infty }f(x_{i},y_{j})}}&{\mbox{, wenn }}X{\mbox{ und }}Y{\mbox{ diskret}}\\\\{\frac {\int \nolimits _{-\infty }^{x}\int \nolimits _{-\infty }^{y}f(u,v)\,dv\,du}{\int \nolimits _{-\infty }^{x}\int \nolimits _{-\infty }^{+\infty }f(u,v)\,dv\,du}}&{\mbox{, wenn }}X{\mbox{ und }}Y{\mbox{ stetig}}\end{cases}}$

Beispiele

Wahlbeteiligung und politisches Interesse

Bei einer Umfrage wurden die Einwohner einer Stadt nach

• der Wahlbeteiligung an der letzten Bundestagswahl (Zufallsvariable $X\;$) mit den möglichen Realisationen $x_{1}=$ ja und $x_{2}=$ nein

sowie

• dem persönlichen politischen Interesse (Zufallsvariable $Y\;$) mit den möglichen Realisationen $y_{1}=$ sehr stark, $y_{2}=$ stark, $y_{3}=$ mittel, $y_{4}=$ wenig und $y_{5}=$ überhaupt nicht.

befragt.

Die folgende Kontingenztabelle enthält die Werte der zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktion der beiden Zufallsvariablen:

Wahlbeteiligung $(X)\;$	politisches Interesse $(Y)\;$					RV $(X)\;$
	sehr stark $\left(y_{1}\right)$	stark $\left(y_{2}\right)$	mittel $\left(y_{3}\right)$	wenig $\left(y_{4}\right)$	überhaupt nicht $\left(y_{5}\right)$
ja $(x_{1})$	0,107	0,196	0,398	0,152	0,042	0,895
nein $(x_{2})$	0,006	0,011	0,036	0,031	0,021	0,105
RV $Y\;$	0,113	0,207	0,434	0,183	0,063	1,000

Aus dieser gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung können die bedingten Verteilungen ermittelt werden.

Verteilungen für Y bedingt auf X

Kontingenztabelle mit bedingten Wahrscheinlichkeiten $f(y_{j}|x_{i})$:

Wahlbeteiligung $(X)\;$	politisches Interesse $(Y)\;$
	sehr stark $\left(y_{1}\right)$	stark $\left(y_{2}\right)$	mittel $\left(y_{3}\right)$	wenig $\left(y_{4}\right)$	überhaupt nicht $\left(y_{5}\right)$
ja $(x_{1})$	0,120	0,219	0,444	0,170	0,047	1,00
nein $(x_{2})$	0,057	0,105	0,343	0,295	0,200	1,00

Für einen zufällig ausgewählten Einwohner, der sich an der Wahl beteiligt hat ($X=\;$ ja), ist z.B. die Wahrscheinlichkeit eines starken politischen Interesses 0,219.

Dagegen beträgt für einen zufällig ausgewählten Einwohner, der sich nicht an der Wahl beteiligt hat ($X=\;$ nein), die Wahrscheinlichkeit eines starken politischen Interesses 0,105.

Verteilungen für X bedingt auf Y

Kontingenztabelle mit bedingten Wahrscheinlichkeiten $f(x_{j}|y_{i})$:

Wahlbeteiligung $(X)\;$	politisches Interesse $(Y)\;$
	sehr stark $\left(y_{1}\right)$	stark $\left(y_{2}\right)$	mittel $\left(y_{3}\right)$	wenig $\left(y_{4}\right)$	überhaupt nicht $\left(y_{5}\right)$
ja ($x_{1}$)	0,947	0,947	0,917	0,831	0,667
nein ($x_{2}$)	0,053	0,053	0,083	0,169	0,333
	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000

Für einen zufällig ausgewählten Einwohner, der z. B. wenig politisches Interesse hat ($Y=\;$ wenig), beträgt die Wahrscheinlichkeit einer Wahlbeteiligung ($X=$ ja) 0,831.