Grundbegriffe
Bedingte Verteilung oder bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion diskreter Zufallsvariablen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die diskrete Zufallsvariable
zu einem bestimmten Wert
realisiert,
unter der Bedingung, dass die diskrete Zufallsvariable
einen Wert
angenommen hat , ist:
.
Analog ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die diskrete Zufallsvariable
zu einem bestimmten Wert
realisiert,
unter der Bedingung, dass die diskrete Zufallsvariable
einen Wert
angenommen hat:
.
Aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Def. bedingte Wahrscheinlichkeit) ist bekannt:
Mit
und
folgt
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Die bedingten Verteilungen der diskreten Zufallsvariablen
und
sind somit gegeben durch
Bedingte Verteilung oder bedingte Dichtefunktion stetiger Zufallsvariablen
Die bedingten Verteilungen der stetigen Zufallsvariablen
und
sind gegeben durch
Verteilungsfunktion der bedingten Verteilung oder bedingte Verteilungsfunktion
Die bedingten Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen
und
ergeben sich zu:
Beispiele
Wahlbeteiligung und politisches Interesse
Bei einer Umfrage wurden die Einwohner einer Stadt nach
- der Wahlbeteiligung an der letzten Bundestagswahl (Zufallsvariable
) mit den möglichen Realisationen
ja und
nein
- sowie
- dem persönlichen politischen Interesse (Zufallsvariable
) mit den möglichen Realisationen
sehr stark,
stark,
mittel,
wenig und
überhaupt nicht.
befragt.
Die folgende Kontingenztabelle enthält die Werte der zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktion der beiden Zufallsvariablen:
Wahlbeteiligung
|
politisches Interesse
|
RV
|
sehr stark
|
stark
|
mittel
|
wenig
|
überhaupt nicht
|
|
ja
|
0,107
|
0,196
|
0,398
|
0,152
|
0,042
|
0,895
|
nein
|
0,006
|
0,011
|
0,036
|
0,031
|
0,021
|
0,105
|
RV
|
0,113
|
0,207
|
0,434
|
0,183
|
0,063
|
1,000
|
Aus dieser gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung können die bedingten Verteilungen ermittelt werden.
Verteilungen für Y bedingt auf X
Kontingenztabelle mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
:
Wahlbeteiligung
|
politisches Interesse
|
sehr stark
|
stark
|
mittel
|
wenig
|
überhaupt nicht
|
ja
|
0,120
|
0,219
|
0,444
|
0,170
|
0,047
|
1,00
|
nein
|
0,057
|
0,105
|
0,343
|
0,295
|
0,200
|
1,00
|
Für einen zufällig ausgewählten Einwohner, der sich an der Wahl beteiligt hat (
ja), ist z.B. die Wahrscheinlichkeit eines
starken politischen Interesses 0,219.
Dagegen beträgt für einen zufällig ausgewählten Einwohner, der sich nicht an der Wahl beteiligt hat (
nein), die Wahrscheinlichkeit eines
starken politischen Interesses 0,105.
Verteilungen für X bedingt auf Y
Kontingenztabelle mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
:
Wahlbeteiligung
|
politisches Interesse
|
sehr stark
|
stark
|
mittel
|
wenig
|
überhaupt nicht
|
ja ( )
|
0,947
|
0,947
|
0,917
|
0,831
|
0,667
|
nein ( )
|
0,053
|
0,053
|
0,083
|
0,169
|
0,333
|
|
1,000
|
1,000
|
1,000
|
1,000
|
1,000
|
Für einen zufällig ausgewählten Einwohner, der z. B. wenig politisches Interesse hat (
wenig), beträgt die Wahrscheinlichkeit einer Wahlbeteiligung (
ja) 0,831.