Ampeln
{Die
–te Ampel steht auf grün};
; Ereignisse sind unabhängig;
{Die
–te Ampel steht auf rot};
;
Auto fährt an keiner Ampel vorbei:
;
{Auto fährt an 1. Ampel vorbei und muss an 2. Ampel halten},
; analog folgt:
;
;
;
X: ”Anzahl der Verkehrsampeln, an denen das Auto bis zum ersten Halt vorbeifährt”; diskrete Zufallsvariable
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
0,5
|
0,25
|
0,125
|
0,0625
|
0,0625
|
Auslastung der Schiffe
, ![{\displaystyle E(X)=T_{1}\cdot K_{1}+T_{2}\cdot K_{2}+T_{3}\cdot K_{3}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=25609eb0860bc9f84bcae2366a2722df&mode=mathml)
,
;
,
,
,
, ![{\displaystyle E(X)=185500}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=736dc87d6cb7184a2f0317a624a18344&mode=mathml)
Bahnstrecke Berlin – Nauen
Klasse
|
0 - 30
|
30 - 60
|
60 - 90
|
90 - 120
|
|
0,35
|
0,45
|
0,15
|
0,05
|
|
0,35
|
0,8
|
0,95
|
1,00
|
Bauteile
Begründung:
Wenn X und Y unabhängig voneinander
![{\displaystyle \forall i,j}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b8a4343d38fef32fc6e233b26d4627f4&mode=mathml)
Ist nicht erfüllt, da z.B.
![{\displaystyle f(x_{1},y_{1})+f(x_{1},y_{2})+f(x_{2},y_{1})=0,015+0,03+0,04=0,085}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f4062281f6cbec2b9936f0d2c549e625&mode=mathml)
Dichtefunktion einer Zufallsvariablen
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf
:
![{\displaystyle 1=\int _{-1}^{3}f(x)dx=[ax]_{-1}^{3}=4a\rightarrow a=1/4=0,25}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bd5d01e12a5db171ffb7879c6893cfb1&mode=mathml)
.
Dichtefunktion
- Für eine Dichtefunktion muss gelten
Da
für
, genügt es für die erste Eigenschaft, zu zeigen, die Nullstellen der nach oben geöffnete Parabel beide links oder beide rechts des Intervalls
liegen. Wir verwenden die
Formel, um diese Nullstellen zu berechnen und erhalten eine doppelte Nullstelle bei
Damit gilt also sogar, dass die Parabel global nichtnegativ ist. Für die Normierung berechnen wir
Also sind beide Eigenschaften erfüllt.
- Wir berechnen die Verteilungsfunktion mithilfe der Definition im Foliensatz Zufallsvariablenfür
:
Für
gilt
, während
für
. Zusammengefasst gilt also: ![{\displaystyle F(x)={\left\{{\begin{array}{ll}0&\quad {\mbox{für}}\quad x<0,\\{\frac {3}{8}}\left(4x-2x^{2}+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)&\quad {\mbox{für}}\quad 0\leq x<2,\\1&\quad {\mbox{für}}\quad 2\leq x.\end{array}}\right.}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6d583348ef3fbb56ed523743904c21dd&mode=mathml)
- Wir berechnen den Erwartungswert mit der Definition aus dem Foliensatz Zufallsvariablen:
Analog gilt für die Varianz ![{\displaystyle {\begin{aligned}Var(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot f(x)dx-E[X]^{2}\\&=\int _{0}^{2}x^{2}\cdot \left({\frac {3}{8}}(4-4x+x^{2})\right)dx-{\frac {1}{4}}\\&={\frac {3}{8}}\int _{0}^{2}(4x^{2}-4x^{3}+x^{4})dx-{\frac {1}{4}}\\&={\frac {3}{8}}[{\frac {4}{3}}x^{3}-x^{4}+{\frac {1}{5}}x^{5}]_{x=0}^{2}-{\frac {1}{4}}\\&={\frac {3}{8}}\cdot ({\frac {4}{3}}2^{3}-2^{4}+{\frac {1}{5}}2^{5})-{\frac {1}{4}}=0,15.\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=34149b7c7eae5f115f0d7f081038b15b&mode=mathml)
Dichtefunktion und Erwartungswert
Diskrete Zufallsvariable
Zunächst prüfen wir, ob die Aufgabe wohlgestellt ist, d.h. ob überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vorliegt. Dazu ist zu prüfen, ob sie nichtnegativ ist und ihre Werte sich zu 1 aufsummieren. Aus der Definition ist klar, dass die Funktion, von der zu prüfen ist, ob sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, nur nichtnegative Werte annimt. Wir berechnen
Es liegt also in der Tat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vor.
- Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit
. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt ![{\displaystyle P[\{X=2\}]=f(2)={\frac {8}{50}}={\frac {4}{25}}0,16.}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=aed67f5b5426421534fb82976852524b&mode=mathml)
- Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit
. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt ![{\displaystyle P[\{X<2\}]=P[\{X=0\}]+P[\{X=1\}]=f(0)+f(1)={\frac {4+5}{50}}=0,18.}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cc1166f0f4c8a19f36b019e531af6937&mode=mathml)
- Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit
![{\displaystyle P[\{X\leq 2\}]=P[\{X=0\}]+P[\{X=1\}]+P[\{X=2\}]={\frac {4+5+8}{50}}=0,34.}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f9db449d493bec2ab3b99caa9c74af79&mode=mathml)
- Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit
![{\displaystyle P[\{X>3\}]=P[\{X=4\}]=f(4)={\frac {20}{50}}=0,4}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2708935c9070950bb7cbedaee8112c4b&mode=mathml)
- Es gilt
![{\displaystyle P[\{X<5\}]=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=eeffa63e46cc21f1ae18ae6cd3fe7e0c&mode=mathml)
Fachliteratur
- Der Abbildung entnehmen wir, dass die Dichtefunktion im Intervall
als affine Funktion dargestellt werden kann, d.h. für
gilt
wobei
die Steigung und
den Achsenabschnitt der affinen Funktion angibt. Wir verwenden die Formel für die Steigung
der Geraden, indem wir die beiden bekannten Punkte
und
verwenden (
ist unbekannt):
Für den Achsenabschnitt gilt damit
In Abhängigkeit vom unbekannten Parameter
gilt damit für
,
Aus der Skizze ist ebenfalls klar, dass
für alle
. Um
zu bestimmen, müssen wir es so wählen, dass
eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird, d.h. nichtnegativ ist und sich zu 1 integriert. Die Nichtnegativität ist klar. Für die Normierung rechnen wir
Damit ergibt sich
Zusammengefasst erhalten wir also
In der obigen Rechnung haben wir zudem die allg. Stammfunktion
von
berechnet, die noch von einer Konstante
abhängt. Diese wollen wir nun so wählen, dass die Verteilungsfunktion stetig ist (d.h., dass sie keine Sprungstellen hat). Offenbar muss gelten
für
und
für
. Damit muss auch für die Stammfunktion
der Dichte gelten, dass
. Wir berechnen
Also muss gelten
damit
an der Stelle
stetig ist. Die Stetigkeit an der Stelle
ergibt sich aus der Wahl von
, die die Normierung der Dichtefunktion garantiert. Zusammengefasst ergibt sich ![{\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=&{\left\{{\begin{array}{ll}0&\quad {\mbox{für}}\quad x<1,\\-{\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {8}{9}}x-{\frac {7}{9}}&\quad {\mbox{für}}\quad 1\leq x<4,\\1&\quad {\mbox{für}}\quad 4\leq x.\end{array}}\right.}\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a9ac4abd0f3e710de847ad6fe539aabc&mode=mathml)
- Um den Erwartungswert zu berechnen, verwenden wir die Definition aus dem Foliensatz zu Zufallsvariablen
Für die Varianz von
gilt mit der Definition aus dem Foliensatz ![{\displaystyle {\begin{aligned}Var[X]&=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot f(x)dx-E[X]^{2}\\&=\int _{1}^{4}x^{2}\cdot \left({\frac {8}{9}}-{\frac {2}{9}}x\right)dx-2^{2}\\&=\int _{1}^{4}{\frac {8}{9}}x^{2}-{\frac {2}{9}}x^{3}dx-2^{2}\\&=[{\frac {8}{27}}x^{3}-{\frac {1}{18}}x^{4}]_{x=1}^{4}-2^{2}\\&={\frac {8\cdot 4^{3}}{27}}-{\frac {4^{4}}{18}}-{\frac {8\cdot 1^{3}}{27}}+{\frac {1^{4}}{18}}-2^{2}\\&={\frac {8\cdot (4^{3}-1)}{27}}-{\frac {4^{4}-1}{18}}-2^{2}\\&={\frac {8\cdot 63}{27}}-{\frac {255}{18}}-2^{2}\\&={\frac {56}{3}}-{\frac {85}{6}}-2^{2}\\&=4,5-4=0,5.\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e9fa245e116190c29a4c46aab619863a&mode=mathml)
- Um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir unsere Kenntnis der Verteilungsfunktion. Zunächst berechnen wir
Für die nächste gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt
Für die letzte gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt
wobei wir im zweiten Schritt verwendet haben, dass eine stetige Verteilung vorliegt und daher jeder Punkt eine Masse von 0 besitzt.
Fernsehsendung
![{\displaystyle G={\mbox{Gewinn}};\quad R:{\mbox{richtige Antwort}}\quad F:{\mbox{falsche Antwort}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=32e339d44b13b8d7e1b833400bf71383&mode=mathml)
Für jede Runde gilt:
.
Runde
|
Antwort
|
Gewinn
|
Wahrscheinlichkeit
|
|
1
|
|
0
|
|
|
2
|
|
100
|
|
|
|
|
|
|
16
|
3
|
|
200
|
|
|
|
|
|
|
6,4
|
4a
|
|
300
|
|
|
|
|
|
|
1,92
|
4b
|
|
400
|
|
|
|
|
|
|
0,64
|
EUR
Feuerwehr
Die erwartete quadrierte Fahrstrecke ist minimal, wenn sich die Feuerwehr an der Stelle aufstellt, die dem Erwartungswert der Zufallsvariablen
entspricht.
Herleitung:
![{\displaystyle \min _{c}E[(x-c)^{2}]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bae0814783744412fa4a11706f1a081b&mode=mathml)
1. Ableitung: ![{\displaystyle -2\sum _{x}(x-c)P(x)=0;c=\sum _{x}xP(x)=E(X)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d341f4e729af5d310f71806e5b957d34&mode=mathml)
Punkt
|
Wahrscheinlichkeit
|
|
-3
|
0,2
|
-0,6
|
-1
|
0,1
|
-0,1
|
0
|
0,1
|
0
|
1
|
0,4
|
0,4
|
2
|
0,2
|
0,4
|
|
1
|
0,1
|
Die Feuerwehr sollte sich an der Stelle
aufstellen.
Gemeinsame Verteilung
a) ![{\displaystyle P(X=Y)=0,02+0,28=0,3}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0dc0d552603978a4af0348abbc196980&mode=mathml)
b) ![{\displaystyle P(X+Y=2)=0,34+0,28=0,62}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fa1d68432b8db47289d17dd1ff3ac71b&mode=mathml)
c) ![{\displaystyle P(Y-X=1)=0,04+0,3=0,34}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2a8c3aa81ad9eef1727c4603a449d786&mode=mathml)
d) ![{\displaystyle P(X\cdot Y=1)=0,28}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a43bbee63d51650a9ee61584d69943aa&mode=mathml)
e) ![{\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0,6+1,6=2,2}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1d96e620f887f47ff34a75bd93818bca&mode=mathml)
f) ![{\displaystyle E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,6-1,6=-1}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=022c7ee076234e4964135ab46d2935a5&mode=mathml)
g) ![{\displaystyle Var(X)=(-0,6)^{2}\cdot 0,4+(0,4)^{2}\cdot 0,6=0,144+0,096=0,24}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=75bd61c7b81f81f116ba558bafebf131&mode=mathml)
h)
Glücksrad
Zufallsvariable
: Punkt, an dem der Zeiger des Glücksrades stehen bleibt. Die stetige Zufallsvariable kann alle Werte des Intervalls
annehmen.
folgt der Rechteckverteilung:
, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable genau einen Wert annimmt, stets Null ist.
Herstellung eines Gutes
EUR;
[EUR]![{\displaystyle ^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=272ba5cfd2789d670bc65e40587345c3&mode=mathml)
EUR;
[EUR]![{\displaystyle ^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=272ba5cfd2789d670bc65e40587345c3&mode=mathml)
: ”Gewinn”;
EUR;
[EUR]![{\displaystyle ^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=272ba5cfd2789d670bc65e40587345c3&mode=mathml)
ICE
Intervall–Bestimmung
;
;
; ![{\displaystyle b=8}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f555af2b0e35744a7b25d1e0f1f0fff1&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {dF(x)}{dx}}=f(x)={\left\{{\begin{array}{ll}1/6&\quad {\mbox{für}}\quad 2\leq x\leq 8\\0&\quad {\mbox{sonst}}\end{array}}\right.}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a678b776289f6905ccf4d5789e5299d7&mode=mathml)
; ![{\displaystyle P(X=5)=P(5\leq X\leq 5)=0}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f15dd502a77d63ff6c018ea884d3d8cd&mode=mathml)
Kinder
Datei:5-1 Kinder.xlsx
Zuerst werden die möglichen Merkmalsausprägungen der Zufallsvariable bestimmt. Die kleinste Summe an Kinder bei drei Ziehungen ohne Zurücklegen ist zwei, z.B.
, und die größte Summe ist zehn, z.B.
.
Für jede Merkmalsausprägung zwischen zwei und zehn können wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mit Hilfe der Wk. nach Laplace bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass es
Möglichkeiten gibt (Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, da die Addition kommutativ ist), 3 Personen aus 6 Personen zu ziehen.
Für jede Merkmalsausprägung lässt sich nun angeben (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) wieviele Möglichkeiten es gibt sie zu erhalten:
|
Ereignisse
|
|
|
2
|
|
|
|
3
|
, , ,
|
|
|
4
|
, ,
|
|
|
5
|
,
|
|
|
6
|
–
|
|
|
7
|
,
|
|
|
8
|
, ,
|
|
|
9
|
, , ,
|
|
|
10
|
|
|
|
Um den Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle
zu erhalten, genügt es, die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zu dieser Stelle
zu addieren, da es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Z.B. ist der Wert der Verteilungsfunktion
an der Stelle 5 gegeben durch
Es gilt ebenfalls
da sich zwischen 5 und 6 kein Ergebnis befindet, das mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt. Die Verteilungsfunktion hat also die für diskrete Verteilungen typische Sprungstellen an den Stellen, an denen Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Ergebnisse für die anderen Stellen ergeben sich mit analoger Rechnung zu ![{\displaystyle F(x)={\left\{{\begin{array}{ll}0&\quad {\mbox{für}}\quad x<2,\\1/20&\quad {\mbox{für}}\quad 2\leq x<3,\\5/20&\quad {\mbox{für}}\quad 3\leq x<4,\\8/20&\quad {\mbox{für}}\quad 4\leq x<5,\\10/20&\quad {\mbox{für}}\quad 5\leq x<7,\\12/20&\quad {\mbox{für}}\quad 7\leq x<8,\\15/20&\quad {\mbox{für}}\quad 8\leq x<9,\\19/20&\quad {\mbox{für}}\quad 9\leq x<10,\\1&\quad {\mbox{für}}\quad 10\leq x.\end{array}}\right.}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e560974505e41d33d1069971d6751c39&mode=mathml)
Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten werden wir nun unter Rückgriff auf die Verteilungsfunktion berechnen. Wir erinnern uns daher nocheinmal an die Definition der Verteilungsfunktion
als
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit
, die wir direkt aus der Tabelle der Verteilungsfunktion in Aufgabenteil b) als
abgelesen werden kann. Nun wird die Wahrscheinlichkeit
gesucht. Um diese Wahrscheinlichkeit auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, verwenden wir den Trick der Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit:
Um die Wahrscheinlichkeit
zu berechnen, greifen wir wieder auf die Verteilungsfunktion zurück: ![{\displaystyle {\begin{aligned}P[\{3<X<9\}]&=P[\{X<9\}]-P[\{X\leq 3\}]\\&=P[\{X\leq 8\}]-P[\{X\leq 3\}]\\&=F[8]-F[3]\\&={\frac {15}{20}}-{\frac {5}{20}}={\frac {10}{20}}={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dbbaf74b59ffc6d15140802c10a70bf8&mode=mathml)
Konstante a
Konstanten
; ![{\displaystyle b=2/13}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d01feb203bcd2dd88e57749a59976ad5&mode=mathml)
![{\displaystyle F(x)={\left\{{\begin{array}{ll}0&\quad {\mbox{für}}\quad x<0\\{\frac {7}{351}}x^{3}&\quad {\mbox{für}}\quad 0\leq x<3\\{\frac {-1}{13}}x^{2}+x-{\frac {23}{13}}&\quad {\mbox{für}}\quad 3\leq x<4\\1&\quad {\mbox{für}}\quad 4\leq x\end{array}}\right.}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=997cd1a0f72dd4c59ae6effd5b7554f2&mode=mathml)
Lostrommel
: “Gewinn”;
;
; ![{\displaystyle P(X=0)=1-0,05-0,4=0,55}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ba134e1e4a86f06e1917cbf2d22b2d81&mode=mathml)
|
0
|
2
|
5
|
|
0,55
|
0,4
|
0,05
|
![{\displaystyle F(x)={\left\{{\begin{array}{ll}0&\quad {\mbox{für}}\quad x<0\\0,55&\quad {\mbox{für}}\quad 0\leq x<2\\0,95&\quad {\mbox{für}}\quad 2\leq x<5\\1&\quad {\mbox{für}}\quad 5\leq x\end{array}}\right.}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=98209a488ad376d993d03977560cbe83&mode=mathml)
Maschinenbauunternehmen
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der abgesetzten Anlagen, so ergibt sich die Zufallsvariable G, die den Gewinn in Mio. EUR (bzw. den Verlust im Fall von Realisationen kleiner als Null) beschreibt, zu
![{\displaystyle G(X)=1\cdot X-(1+0,5\cdot X)=0,5\cdot X-1}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8f24533357820a3997045ae2a60403a4&mode=mathml)
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung
Anlagenzahl x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
,
|
0,05
|
0,15
|
0,25
|
0,30
|
0,15
|
0,10
|
|
Verlust/Gewinn
|
-1,0
|
-0,5
|
0,0
|
0,5
|
1,0
|
1,5
|
|
oder
Der erwartete Gewinn der Abteilung beträgt 325.000 EUR.
Mautpflichtige Brücke
MegaShop
![{\displaystyle E(X)=1000\cdot \displaystyle {\frac {1}{x}}+500\cdot \displaystyle {\frac {4}{x}}+20\cdot \displaystyle {\frac {100}{x}}+0\cdot \displaystyle {\frac {x-105}{x}}=\displaystyle {\frac {5000}{x}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=25fac6ce254781236f3625a46b039330&mode=mathml)
Platten
: “Länge einer Platte”;
: “Breite einer Platte”;
: “Fläche einer Platte”
|
5
|
6
|
f(x)
|
8
|
0,1
|
0,1
|
0,2
|
10
|
0,6
|
0,2
|
0,8
|
|
0,7
|
0,3
|
1,0
|
mm
Qualitätskontrolle
Anwendung des allgemeinen Multiplikationssatzes,
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen: ![{\displaystyle E(X)=\sum _{i}x_{i}\cdot f(x_{i})}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=587879b9d37f54923a2f880aa6835ec1&mode=mathml)
; die Ereignisse
sind unvereinbar (disjunkt);
gegeben: ![{\displaystyle P(A_{1})=0,8;\;P(A_{2}|{\overline {A}}_{1})=0,6;\;P(A_{3}|{\overline {A}}_{1}\cap {\overline {A}}_{2})=0,3}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ea1d638f4d963b15fa627e40bbbcec19&mode=mathml)
![{\displaystyle f(X=5)=P(A_{1})=0,8}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=34d3aa37ddbd2d1d54311b7c1326f045&mode=mathml)
![{\displaystyle f(X=10)=P(A_{2})=P(A_{2}|{\overline {A}}_{1})\cdot P({\overline {A}}_{1})=0,6\cdot 0,2=0,12}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=325b872eb18b4b40df63d972d297be90&mode=mathml)
![{\displaystyle f(X=20)=P(A_{3})=P(A_{3}|{\overline {A}}_{1}\cap {\overline {A}}_{2})\cdot P({\overline {A}}_{2}|{\overline {A}}_{1})\cdot P({\overline {A}}_{1})=0,3\cdot 0,4\cdot 0,2=0,024}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=765f79ea843ece25debb5f15d1a659c6&mode=mathml)
![{\displaystyle f(X=50)=P({\overline {A}}_{1}\cap {\overline {A}}_{2}\cap {\overline {A}}_{3})=P({\overline {A}}_{3}|{\overline {A}}_{1}\cap {\overline {A}}_{2})\cdot P({\overline {A}}_{2}|{\overline {A}}_{1})\cdot P({\overline {A}}_{1})=0,7\cdot 0,4\cdot 0,2=0,056}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a1f3a40eb4f568437d742f611a91082b&mode=mathml)
Rechteckverteilung
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=&{\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{8}}&\quad {\mbox{für}}\quad -2\leq x\leq 6\\0&\quad {\mbox{sonst}}\end{array}}\right.}\\F(x)&=&{\left\{{\begin{array}{ll}0&\quad {\mbox{für}}\quad x<-2\\{\frac {x+2}{8}}&\quad {\mbox{für}}\quad -2\leq x<6\\1&\quad {\mbox{für}}\quad 6\leq x\end{array}}\right.}\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=27439d3bf5e357b944c5a9a3aaba8e1e&mode=mathml)
; ![{\displaystyle Var(X)=5,333}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f7dd29f2d016ae176ec90a16a9a0b80e&mode=mathml)
;
; ![{\displaystyle P(X\leq 2|X{\mbox{ positiv}})=1/3}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0b4c0ecc6e1449724eed4687f16384f6&mode=mathml)
Spielkasino
1. Durchgang:
Es gibt vier mögliche Ereignisse
,
,
und
, wobei die grüne Münze an 1. Stelle und die rote Münze an 2. Stelle genannt wird, mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0,25.
tritt ein, wenn (Z,Z), (W,Z), (Z,W) eintritt, damit ist
.
tritt ein, wenn (W,W) eintritt, damit ist ![{\displaystyle P(X=0)=0,25}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2478bea3e8bc2189c268a527190930a5&mode=mathml)
2. Durchgang:
Es gibt zwei mögliche Ereignisse: die rote Münze zeigt Z bzw. W jeweils mit der Wahrscheinlichkeit
.
![{\displaystyle P(Y=y\cap X=x)=P(Y=y|X=x)\cdot P(X=x)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=721d4b03eeeedcceb2507171bcb0885e&mode=mathml)
, da
ein unmögliches Ereignis ist.
, da
ein sicheres Ereignis ist.
da ![{\displaystyle P(Y=1|X=1)=P(Z|X=1)=0,5}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3c34ea6cf7555eb84977354f35ce9722&mode=mathml)
, da ![{\displaystyle P(Y=0|X=1)=P(W|X=1)=0,5}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=44165fcf5f8dfa201cba43f2fbf1f345&mode=mathml)
Ergebnis:
![{\displaystyle P(Y=1,X=1)=0,375\quad P(Y=1,X=0)=0}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3c1c5ba28ba5351a0fe3cf621e627aff&mode=mathml)
Umweltschützer
Würfelspiel
{Erscheinen der gesetzten Zahl beim Werfen eines Würfels};
Ereignis
|
|
Spielgewinn
|
|
|
125/216
|
|
125/216
|
|
25/216
|
|
|
|
25/216
|
|
75/216
|
|
25/216
|
|
|
|
5/216
|
|
|
|
5/216
|
|
15/216
|
|
5/216
|
|
|
|
1/216
|
|
1/216
|
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Würfelergebnisse Anwendung des Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse zur Berechnung der
. Die
sind disjunkt; Anwendung des Axioms 3 zur Berechnung der
.
ist eine diskrete Zufallsvariable.
Zufallsvariable X
Die Verteilungsfunktion von
ist :
![{\displaystyle P(X>5)=1-P(X\leq 5)=1-F(5)=1-(25/16-15/8+9/16)=1-4/16=0,75}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=963fd360f121851a2f39069c5fd7e51a&mode=mathml)
Zurückgelegte Strecke
Zufallsvariable ![{\displaystyle X={\mbox{täglich zurückgelegte Strecke}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=688c99cf2e26c8da2b94af928ce98a53&mode=mathml)
Erwartungswert
km;Varianz
(km
);
(km)
Da die Verteilung der Zufallsvariablen nicht bekannt ist, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht exakt berechnet werden, sondern nur mittels der Tschebyschev–Ungleichung grob abgeschätzt werden:
mit
bzw. für
folgt:
mit
.
![{\displaystyle a=24;\quad k=a/\sigma =24/12=2}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a978f4aee9190f3c1eacc23b218d5107&mode=mathml)
bzw. ![{\displaystyle P(|X-140|>2\cdot 12)\leq 1/2^{2}=0,25}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=243c40dd63dbeb9e7ed651977a43a1c4&mode=mathml)
Dies ist eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable
einen Wert außerhalb des 2–fachen zentralen Schwankungsintervalls annimmt. Die Formulierung in der Frage “um höchstens 24 (km) vom Erwartungswert abweicht” impliziert jedoch, dass
Werte innerhalb eines zentralen Schwankungsintervalls annimmt:
mit
.
Dies ist das Komplementärereignis zu
, so dass das gesuchte Ergebnis wie folgt lautet:
bzw. ![{\displaystyle P(\mu -k\sigma \leq X\leq \mu +k\sigma )\geq 1-1/k^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e796b26deebae5067a293a9ab55f6b9c&mode=mathml)
bzw.
![{\displaystyle P(140-2\cdot 12\leq X\leq 140+2\cdot 12)\geq 1-1/2^{2}=0,75}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5bd7365338f1d1c32e32d1480106fcf1&mode=mathml)
Zweidimensionale Zufallsvariable
Wir charakterisieren zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe. Dazu stellen wir zunächst fest, dass 2,3,4 und 5 als Summe von
und
dargestellt werden können. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Summe nimmt nur dann den Wert 2 an, wenn
und
beide den Wert 1 annehmen. Wir entnehmen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion, dass dieser Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von
eintritt.
Die Summe kann den Wert 3 annehmen, wenn
und
(Wahrscheinlichkeit ist
) oder wenn
und
(Wahrscheinlichkeit ist 0,1). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert 4 annimmt,
. Analog werden die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen:
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
0,1
|
0,4
|
0,3
|
0,2
|
Damit gilt für den Erwartungswert:
Zweidimensionale Zufallsvariable und Erwartungswert
Wir beginnen wieder mit dem Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktion von
. Dazu stellen wir zunächst fest, dass das Produkt der Faktoren 1,2 und 3 mit 1,2 und 4 die Werte 1,2,3,4,6,8 und 12 annehmen kann. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Damit das Produkt den Wert 1 annimmt, müssen sowohl der erste als auch der zweite Faktor den Wert 1 annehmen. Da dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 passiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 1 annimmt, 0,1 [1]. Es gibt zwei Ereignisse, die dazu führen, dass das Produkt den Wert 2 annimmt: Wenn
und
(Wahrscheinlichkeit ist
) oder
und
(Wahrscheinlichkeit ist 0,1) eintritt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt den Wert 2 annimmt,
. Die anderen Wahrscheinlichkeiten werden analog berechnet und sind in der folgenden Tabelle aufgetragen.
y
|
1
|
2
|
3
|
4
|
6
|
8
|
12
|
f(y)
|
0,1
|
0,3
|
0,2
|
0,2
|
0,1
|
0
|
0,1
|
Damit ergibt sich für den Erwartungswert von
- ↑ Das gleiche Argument führt auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 6 bzw. 12 annimmt.