Multiplikationssatz: Unterschied zwischen den Versionen

Aus MM*Stat

Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: „=={{Vorlage:Überschrift}}== ===Multiplikationssatz=== Durch Umstellung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit kann…“)
 
 
Zeile 1: Zeile 1:
 +
{{Wahrscheinlichkeitsrechnung}}
 +
 
=={{Vorlage:Überschrift}}==
 
=={{Vorlage:Überschrift}}==
  

Aktuelle Version vom 7. April 2019, 15:45 Uhr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung • Mengenlehre • Wahrscheinlichkeit • Additionssatz • Bedingte Wahrscheinlichkeit • Multiplikationssatz • Unabhängige Ereignisse • Vierfeldertafel • Satz der totalen Wahrscheinlichkeit • Theorem von Bayes • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
A-posteriori-Wahrscheinlichkeit • A-priori-Wahrscheinlichkeit • Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Differenz von Ereignissen • Disjunkte Ereignisse • Durchschnitt von Ereignissen • Element • Elementarereignis • Ereignis • Ereignisraum • Gruppe (Mengenlehre) • Klasse (Mengenlehre) • Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Komplementärereignis • Leere Menge • Logische Differenz von Ereignissen • Logische Summe von Ereignissen • Menge • Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit • Operationen von Ereignissen • Randhäufigkeit • Randwahrscheinlichkeit • Relationen von Ereignissen • Sicheres Ereignis • Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Teilmenge • Totale Wahrscheinlichkeit • Unmögliches Ereignis • Venn-Diagramm • Vereinigung von Ereignissen • Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorov • Wahrscheinlichkeit nach Laplace • Wahrscheinlichkeit nach von Mises • Wahrscheinlichkeitstabelle • Zerlegung des Ereignisraums • Vollständige Zerlegung des Ereignisraums • Zufallsexperiment

Grundbegriffe

Multiplikationssatz

Durch Umstellung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit kann man die Wahrscheinlichkeit für den Durchschnitt von Ereignissen berechnen.

Für zwei Ereignisse und ist das die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl als auch eintritt:

bzw. für drei Ereignisse und :

oder für die Ereignisse :

Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit

Die bei unabhängigen Ereignissen gültige Beziehung heißt Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit bzw. Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse.

Die Multiplikationsregel kann für den Fall von Ereignissen verallgemeinert werden:

Seien die Ereignisse eines Ereignisraumes mit positiven Wahrscheinlichkeiten. Dann gilt für jede Auswahl mit :

Zusatzinformationen

Herleitung des Multiplikationssatzes bei Unabhängigkeit

Zu zeigen ist: Bei Unabhängigkeit gilt

Der Beweis verwendet die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

Unter Unabhängigkeit gilt . Somit:

Durch Umstellen erhält man: