Mengenlehre: Unterschied zwischen den Versionen

Aus MM*Stat

Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: „=={{Vorlage:Überschrift}}== ===Element=== Unter ''Elementen'' verstehen wir bestimmte wohlunterschiedene Objekte <math>m</math> unserer Anschauung oder unse…“)
 
 
(3 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 +
{{Wahrscheinlichkeitsrechnung}}
 +
 
=={{Vorlage:Überschrift}}==
 
=={{Vorlage:Überschrift}}==
  
Zeile 23: Zeile 25:
 
Das ''Venn-Diagramm'' ist eine grafische Veranschaulichung von [[Ereignisraum]] und [[Ereignis]]sen, die als Flächen abgebildet werden.
 
Das ''Venn-Diagramm'' ist eine grafische Veranschaulichung von [[Ereignisraum]] und [[Ereignis]]sen, die als Flächen abgebildet werden.
  
[[Bild:venn2.svg]]
+
[[Bild:venn2.png]]
  
 
===Relationen und Operationen von Ereignissen===
 
===Relationen und Operationen von Ereignissen===
Zeile 41: Zeile 43:
 
Das folgende [[Venn-Diagramm]] veranschaulicht dies:
 
Das folgende [[Venn-Diagramm]] veranschaulicht dies:
  
[[Bild:venn_3.svg]]
+
[[Bild:venn3.png]]
  
 
====Vereinigung oder logische Summe von Ereignissen====
 
====Vereinigung oder logische Summe von Ereignissen====
Zeile 163: Zeile 165:
 
Man schreibt: <math> A\backslash B=C\equiv A\cap\overline{B} </math>
 
Man schreibt: <math> A\backslash B=C\equiv A\cap\overline{B} </math>
  
[[Bild:venn_4.svg]]
+
[[Bild:venn4.png]]
  
 
====Disjunkte Ereignisse====
 
====Disjunkte Ereignisse====

Aktuelle Version vom 7. April 2019, 15:44 Uhr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung • Mengenlehre • Wahrscheinlichkeit • Additionssatz • Bedingte Wahrscheinlichkeit • Multiplikationssatz • Unabhängige Ereignisse • Vierfeldertafel • Satz der totalen Wahrscheinlichkeit • Theorem von Bayes • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
A-posteriori-Wahrscheinlichkeit • A-priori-Wahrscheinlichkeit • Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Differenz von Ereignissen • Disjunkte Ereignisse • Durchschnitt von Ereignissen • Element • Elementarereignis • Ereignis • Ereignisraum • Gruppe (Mengenlehre) • Klasse (Mengenlehre) • Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Komplementärereignis • Leere Menge • Logische Differenz von Ereignissen • Logische Summe von Ereignissen • Menge • Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit • Operationen von Ereignissen • Randhäufigkeit • Randwahrscheinlichkeit • Relationen von Ereignissen • Sicheres Ereignis • Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Teilmenge • Totale Wahrscheinlichkeit • Unmögliches Ereignis • Venn-Diagramm • Vereinigung von Ereignissen • Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorov • Wahrscheinlichkeit nach Laplace • Wahrscheinlichkeit nach von Mises • Wahrscheinlichkeitstabelle • Zerlegung des Ereignisraums • Vollständige Zerlegung des Ereignisraums • Zufallsexperiment

Grundbegriffe

Element

Unter Elementen verstehen wir bestimmte wohlunterschiedene Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens. (Definition nach Georg Cantor)

Menge

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von genannt werden) zu einem Ganzen. (Definition nach Georg Cantor)

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Ereignisse als Teilmengen des Ereignisraumes definiert.

Da demnach Ereignisse Mengen sind, können die für Mengen definierten Relationen und Operationen (werden im Folgenden erklärt) direkt auf Ereignisse angewandt werden.

Klasse bzw. Gruppe

Die Vereinigung von Elementen nennt man Klasse bzw. Gruppe.

Beispiel: Die Menge sei gegeben durch . Eine Klasse der Menge wäre also z.B. .

Venn-Diagramm

Das Venn-Diagramm ist eine grafische Veranschaulichung von Ereignisraum und Ereignissen, die als Flächen abgebildet werden.

Venn2.png

Relationen und Operationen von Ereignissen

Leere Menge

Eine Menge , die kein Element enthält, heißt leere Menge. Man schreibt .

Bezogen auf ein Ereignis mit bedeutet dies, dass ein unmögliches Ereignis ist.

Teilmenge

Eine Menge heißt Teilmenge einer Menge , wenn jedes Element von auch Element von ist. Teilmenge schreibt man als: .

Bezogen auf Ereignisse und mit bedeutet dies, dass wenn Ereignis eintritt, muss auch Ereignis eintreten.

Das folgende Venn-Diagramm veranschaulicht dies:

Venn3.png

Vereinigung oder logische Summe von Ereignissen

Die Vereinigung oder logische Summe zweier Ereignisse und ist die Menge aller Elementarereignisse, die zu gehören. Man schreibt .

Die Vereinigung lässt sich über eine beliebige Anzahl von Ereignissen bilden:

<R output="display">

pdf(rpdf,width=7, height=7)

library("rJava") library("venneuler") library("graphics")

venn.text <- function (vd, set="", xs=0, ys=0, ...) {

 x = y = 0
 sets = strsplit(set, '&', fixed=T)
 for (i in 1:length(sets)) {
   if (length(setsi)==0) {
     x <- min(vd$centers[,1]-vd$diameters/2)
     y <- max(vd$centers[,2]+vd$diameters/2)
   } else {
     pos <- match(setsi, rownames(vd$centers))
     x   <- mean(vd$centers[pos,1])
     y   <- mean(vd$centers[pos,2])
   }
   text(x+xs, y+ys,cex=2.3, ...)
 }

}

venn <- function(...) {

 vd <- venneuler(unlist(list(...)))
 vd$labels=c("","","")
 par(mar=c(0.1,0.1,0.1,0.1), oma=c(0,0,3,0))
 return(vd)

}

  1. par(bg="antiquewhite1")

par(mfrow=c(2,1))

vd1 <- venn(A=25, B=25, "A&B"=10) vd1$colors <- c(0.3333333, 0.6666666, 1.0)

vd2 <- venn(A=25, B=25, "A&B"=10) vd2$colors <- c(0.3333333, 0.3333333, 1.0)

plot(vd1) text(0.18, 0.9, "Ereignisraum S", adj = c(0,0), cex=3.5) venn.text(vd1, "A", xs=0.12, ys=0.02, labels="Ereignis B") venn.text(vd1, "B", xs=-0.12, ys=0.02, labels="Ereignis A") box() title(main='Ereignisraum S', outer=TRUE, cex.main=2.5, font.main=1)

plot(vd2) text(0.18, 0.9, "Ereignisraum S", adj = c(0,0), cex=3.5) venn.text(vd2, "A", xs=-0.05, ys=0.02, labels=expression(paste(A,union(B)))) venn.text(vd2, "B", xs=0.05, ys=0.02, labels="Ereignis") box() title(main='Ereignisraum S', outer=TRUE, cex.main=2.5, font.main=1)

</R>

Durchschnitt von Ereignissen

Der Durchschnitt zweier Ereignisse und ist die Menge aller Elementarereignisse, die sowohl zu als auch zu gehören. Man schreibt .

Die Verallgemeinerung der Durchschnittsoperation auf Ereignisse schreibt man als .

<R output="display">

pdf(rpdf,width=7, height=7)

library("rJava") library("venneuler")

venn.text <- function (vd, set="", xs=0, ys=0, ...) {

 x = y = 0
 sets = strsplit(set, '&', fixed=T)
 for (i in 1:length(sets)) {
   if (length(setsi)==0) {
     x <- min(vd$centers[,1]-vd$diameters/2)
     y <- max(vd$centers[,2]+vd$diameters/2)
   } else {
     pos <- match(setsi, rownames(vd$centers))
     x   <- mean(vd$centers[pos,1])
     y   <- mean(vd$centers[pos,2])
   }
   text(x+xs, y+ys,cex=2.7, ...)
 }

}

venn <- function(...) {

 vd <- venneuler(unlist(list(...)))
 vd$labels=c("","","")
 par(mar=c(0.1,0.1,0.1,0.1), oma=c(0,0,3.5,0))
 return(vd)

}

vd <- venn(A=25, B=25, "A&B"=10)

  1. par(bg = "antiquewhite1")

plot(vd)

  1. text(0.18, 0.9, "Ereignisraum S", adj = c(0,0), cex=3.5)

venn.text(vd, "A", xs=0.11, ys=0.02, labels="Ereignis B") venn.text(vd, "B", xs=-0.11, ys=0.02, labels="Ereignis A") venn.text(vd, "A&B", xs=0.0, ys=-0.04, labels=expression(paste(A,intersect(B)))) box() title(main='Ereignisraum S', outer=TRUE, cex.main=3.5, font.main=1)


</R>

Logische Differenz von Ereignissen

Das Ereignis ist die logische Differenz der Ereignisse und , wenn das Ereignis charakterisiert, bei dem aber nicht eintritt.

Man schreibt:

Venn4.png

Disjunkte Ereignisse

Zwei Ereignisse und heißen disjunkt (sich ausschließend), wenn ihr gleichzeitiges Eintreten unmöglich ist und damit der Durchschnitt die leere Menge ist:

Wie aus den Beziehungen weiter oben ersichtlich, ist ein Ereignis stets zu seinem Komplementärereignis disjunkt.

Aber: Disjunkte Ereignisse sind nicht notwendig komplementär.

<R output="display">

pdf(rpdf)

library("rJava") library("venneuler")

venn.text <- function (vd, set="", xs=0, ys=0, ...) {

 x = y = 0
 sets = strsplit(set, '&', fixed=T)
 for (i in 1:length(sets)) {
   if (length(setsi)==0) {
     x <- min(vd$centers[,1]-vd$diameters/2)
     y <- max(vd$centers[,2]+vd$diameters/2)
   } else {
     pos <- match(setsi, rownames(vd$centers))
     x   <- mean(vd$centers[pos,1])
     y   <- mean(vd$centers[pos,2])
   }
   text(x+xs, y+ys,cex=3.5, ...)
 }

}

venn <- function(...) {

 vd <- venneuler(unlist(list(...)))
 vd$labels=c("","","")
 par(mar=c(0.1,0.1,0.1,0.1), oma=c(0,0,3.5,0))
 return(vd)

}

vd <- venn(A=0.4, B=0.4, "A&B"=-0.015)

  1. par(bg = "antiquewhite1")

plot(vd)

  1. text(0.1, 1, "Ereignisraum S", adj = c(0,0), cex=3.5)

venn.text(vd, "A", xs=0.0, ys=0.0, labels="Ereignis B") venn.text(vd, "B", xs=0.0, ys=0.0, labels="Ereignis A") box() title(main='Ereignisraum S', outer=TRUE, cex.main=3.5, font.main=1)


</R>

Zerlegung des Ereignisraums

Ein System von Ereignissen heißt eine Zerlegung von , wenn

gilt und eines der Ereignisse bei einem Zufallsexperiment eintreten muss.

Eine Zerlegung kann man sich als eine Aufteilung aller Elementarereignisse in Gruppen vorstellen, wobei jedes Elementarereignis in genau einer Gruppe vorkommt (so wie man eine Schulklasse in Gruppen aufteilt).

Vollständige Zerlegung des Ereignisraums

Die Ereignisse bilden eine vollständige Zerlegung des Ereignisraumes , wenn

gilt.

Zusatzinformationen

Interpretation der Relationen und Operationen von Ereignissen

Beschreibung des zugrundeliegenden

Sachverhaltes

Bezeichnung

(Sprechweise)

Darstellung
tritt sicher ein ist sicheres Ereignis
tritt sicher nicht ein ist unmögliches Ereignis
wenn eintritt, tritt ein ist Teilmenge von
genau dann, wenn eintritt, tritt ein und sind äquivalente

Ereignisse

wenn eintritt, tritt nicht ein und sind disjunkte Ereignisse
genau dann, wenn eintritt, tritt nicht ein und sind komplementäre Ereignisse
genau dann, wenn mindestens eintritt (genau

dann, wenn oder oder eintreten), tritt ein

ist Vereinigung der
genau dann, wenn alle eintretten (genau dann,

wenn und und eintreten), tritt ein

ist Durchschnitt der

Beispiele

Vereinigung von Ereignissen

Zufallsexperiment: einmaliges Werfen eines Würfels

damit ergibt sich

Es gilt:

Durchschnitt von Ereignissen

Zufallsexperiment: einmaliges Werfen eines Würfels

damit ergibt sich

Es gilt:

Disjunkte vs. komplementäre Ereignisse

Zufallsexperiment: einmaliges Werfen eines Würfels

  • ,

Aus den Ereignissen und ergibt sich:

damit ergibt sich


Die Ereignisse und sind komplementär und disjunkt

  • ,

damit ergibt sich


Die Ereignisse und sind disjunkt, aber nicht komplementär (es gibt noch die Würfelzahlen 5 und 6)

Logische Differenz von Ereignissen

Zufallsexperiment: einmaliges Werfen eines Würfels

Dann sind:

und

Zerlegung des Ereignisraums

Zufallsexperiment: Werfen eines Würfels

.

Eine Zerlegung von ist mit den Ereignissen gegeben, denn es gilt:

.