Theorem von Bayes

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Theorem von Bayes

Sei $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ eine Zerlegung von $\,S$.

Ferner sei ein zufälliges Ereignis $B$ mit $\,P(B)>0$ und die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(B|A_{1}),P(B|A_{2}),\ldots ,P(B|A_{n})$ gegeben.

Dann gilt:

$P(A_{j}|B)={\frac {P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}{\sum _{i=1}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}}\quad \forall j=1,\ldots ,n$

Das Theorem von Bayes hat grundlegende Bedeutung für Bayes'sche Verfahren.

a-priori- bzw. a-posteriori-Wahrscheinlichkeit

Gegeben sei das Theorem von Bayes:

$P(A_{j}|B)={\frac {P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}{\sum _{i=1}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}}\quad \forall j=1,\ldots ,n$

Man bezeichnet dann $\,P(A_{j})$ a-priori-Wahrscheinlichkeit und $\,P(A_{j}|B)$ als a-posteriori-Wahrscheinlichkeit.