Unabhängige Ereignisse

Unterseiten Beispiel: Corona-Risiko

Grundbegriffe

Unabhängige Ereignisse

Wir haben gesehen, dass im allgemeinen die Vorinformation über das Eintreten von Ereignissen die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten anderer Ereignisse beeinflusst. Im Allgemeinen gilt also:

$P(A)\neq P(A|B)$

Wenn aber $P(A)=P(A|B)$ ist, so hängt das Eintreten von $A$ nicht von dem Eintreten (oder Nichteintreten) des Ereignisses $B$ ab.

$A$ und $B$ sind dann voneinander unabhängige Ereignisse (stochastische Unabhängigkeit). Denn wenn $A$ unabhängig ist von $B$, so ist auch $B$ unabhängig von $A$.

Dann muss gelten:

1. $P(A|B)=P(A|{\bar {B}})\qquad P(B|A)=P(B|{\bar {A}})$
2. $P(A|B)=P(A)\qquad P(B|A)=P(B)$
3. $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Zusatzinformationen

Unabhängig $\neq$ disjunkt

Beachten Sie den Unterschied zwischen den Begriffen "unabhängig" und "disjunkt":

Sind zwei Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(A)\geq 0$ und $P(B)\geq 0$ disjunkt, dann gilt:

wegen $A\cap B=\emptyset$ für die Wahrscheinlichkeit: $P(A\cap B)=0$;

aber $P(A\cap B)=0\neq P(A)\cdot P(B)$

Also gilt, dass $A$ und $B$ nicht unabhängig voneinander sein können, sofern sie disjunkt sind, und dass falls sie unabhängig voneinander sind, sie eine gemeinsame Schnittmenge besitzen müssen.

Somit schließen sich disjunkt und unabhängig gegenseitig aus.

Herleitung von Beziehungen bei Unabhängigkeit

Zu zeigen ist: Bei Unabhängigkeit gilt $P(A)=P(A|B)$.

Sind $A$ und $B$ unabhängige Ereignisse, so gilt

$P(A|B)=P(A|{\bar {B}})={\frac {P(A\cap {\bar {B}})}{P({\bar {B}})}}={\frac {P(A\cap {\bar {B}})}{1-P(B)}}$

Multiplikation beider Seiten mit $1-P(B)$ und Ausmultiplizieren der linken Seite ergibt:

$P(A|B)[1-P(B)]=P(A\cap {\bar {B}})$

$P(A|B)-P(A|B)P(B)=P(A\cap {\bar {B}})$

Nach Addieren des zweiten Terms der linken Seite und Anwenden der Definition für $P(A|B)$ ergibt sich:

$\,P(A|B)$	$=P(A|B)\cdot P(B)+P(A\cap {\bar {B}})$
	$={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\cdot P(B)+P(A\cap {\bar {B}})$
	$=P(A\cap B)+P(A\cap {\bar {B}})=P(A)$

Gleichermaßen kann man zeigen, dass $P(B|A)=P(B)$ gilt.