Multiplikationssatz

Grundbegriffe

Multiplikationssatz

Durch Umstellung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit kann man die Wahrscheinlichkeit für den Durchschnitt von Ereignissen berechnen.

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ ist das die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl $A$ als auch $B$ eintritt:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

bzw. für drei Ereignisse $A_{1},\;A_{2}$ und $\,A_{3}$:

$P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})$

oder für die Ereignisse $A_{1},\ldots ,A_{n}$:

$P(A_{1}\cap \ldots \cap A_{n})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdot \ldots \cdot P(A_{n}|A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1})$

Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit

Die bei unabhängigen Ereignissen gültige Beziehung $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ heißt Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit bzw. Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse.

Die Multiplikationsregel kann für den Fall von $n$ Ereignissen verallgemeinert werden:

Seien $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ die Ereignisse eines Ereignisraumes $S$ mit positiven Wahrscheinlichkeiten. Dann gilt für jede Auswahl $A_{i1},\ldots ,A_{im}$ mit $m\leq n$:

$P\left(A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{m}}\right)=P\left(A_{i_{1}}\right)\cdot P\left(A_{i_{2}}\right)\cdot \ldots \cdot P\left(A_{i_{m}}\right)$

Zusatzinformationen

Herleitung des Multiplikationssatzes bei Unabhängigkeit

Zu zeigen ist: Bei Unabhängigkeit gilt $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Der Beweis verwendet die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

$\,P(A|B)$

$={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

Unter Unabhängigkeit gilt $\,P(A|B)=P(A)$. Somit:

$\,P(A)$

$={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

Durch Umstellen erhält man:

$P(A\cap B)$

$\,=P(A)\cdot P(B)$