Multiplikationssatz
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Inhaltsverzeichnis
Grundbegriffe
Multiplikationssatz
Durch Umstellung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit kann man die Wahrscheinlichkeit für den Durchschnitt von Ereignissen berechnen.
Für zwei Ereignisse und
ist das die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl
als auch
eintritt:
bzw. für drei Ereignisse und
:
oder für die Ereignisse :
Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit
Die bei unabhängigen Ereignissen gültige Beziehung heißt Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit bzw. Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse.
Die Multiplikationsregel kann für den Fall von Ereignissen verallgemeinert werden:
Seien die Ereignisse eines Ereignisraumes
mit positiven Wahrscheinlichkeiten. Dann gilt für jede Auswahl
mit
:
Zusatzinformationen
Herleitung des Multiplikationssatzes bei Unabhängigkeit
Zu zeigen ist: Bei Unabhängigkeit gilt
Der Beweis verwendet die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:
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Unter Unabhängigkeit gilt . Somit:
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Durch Umstellen erhält man:
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