Multiplikationssatz

Grundbegriffe

Multiplikationssatz

Durch Umstellung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit kann man die Wahrscheinlichkeit für den Durchschnitt von Ereignissen berechnen.

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ ist das die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl $A$ als auch $B$ eintritt:

$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

bzw. für drei Ereignisse $A_{1},\; A_{2}$ und $\,A_{3}$:

$P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3} |A_{1}\cap A_{2})$

oder für die Ereignisse $A_{1},\ldots, A_{n}$:

$P(A_{1}\cap\ldots\cap A_{n})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdot\ldots\cdot P(A_{n}|A_{1}\cap\ldots\cap A_{n-1})$

Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit

Die bei unabhängigen Ereignissen gültige Beziehung $P( A\cap B ) = P(A)\cdot P(B)$ heißt Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit bzw. Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse.

Die Multiplikationsregel kann für den Fall von $n$ Ereignissen verallgemeinert werden:

Seien $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ die Ereignisse eines Ereignisraumes $S$ mit positiven Wahrscheinlichkeiten. Dann gilt für jede Auswahl $A_{i1},\ldots,A_{im}$ mit $m \leq n$:

$P\left( A_{i_{1}}\cap\ldots\cap A_{i_{m}}\right) =P\left(A_{i_{1}}\right)\cdot P\left( A_{i_{2}}\right)\cdot\ldots\cdot P\left( A_{i_{m}}\right)$

Zusatzinformationen

Herleitung des Multiplikationssatzes bei Unabhängigkeit

Zu zeigen ist: Bei Unabhängigkeit gilt $P( A \cap B ) = P( A ) \cdot P( B )$

Der Beweis verwendet die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

$\,P(A|B)$

$=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Unter Unabhängigkeit gilt $\,P(A|B) = P(A)$. Somit:

$\,P(A)$

$=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Durch Umstellen erhält man:

$P(A \cap B)$

$\,=P(A)\cdot P(B)$