Verteilungsfunktion (stochastisch)

Grundbegriffe

Verteilungsfunktion eindimensionaler Zufallsvariablen

Als Verteilungsfunktion $F(x)$ einer Zufallsvariablen $X$ bezeichnet man die Funktion, die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die Zufallsvariable $X$ höchstens den Wert $x$ annimmt.

Diskrete Verteilungsfunktion von eindimensionalen Zufallsvariablen

Sei $X$ eine diskrete Zufallsvariable. Dann ist die Verteilungsfunktion definiert durch:

$F(x)=P(X\leq x)=\sum \nolimits _{x_{i}\leq x}f(x_{i})$

Grafisch kann die Verteilungsfunktion der diskreten Zufallsvariablen $X$ als eine Treppenfunktion dargestellt werden, bei der sich die Funktion jeweils in den Realisationen $x_{i}$ um den Betrag $f(x_{i})$ erhöht und zwischen den einzelnen möglichen Realisationen konstant verläuft.

Mittels der Verteilungsfunktion lassen sich andere Wahrscheinlichkeiten gemäß

$P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$

bzw.

$\,P(X>a)=1-F(a)$

berechnen.

Stetige Verteilungsfunktion von eindimensionalen Zufallsvariablen

Sei $X$ eine stetige Zufallsvariable. Dann ist die Verteilungsfunktion definiert durch:

$\,F(x)\,=P(-\infty <X\leq x)\,=\int \nolimits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

Der Wert der Verteilungsfunktion $F(x)$ entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion $f(t)$ für $-\infty <X\leq x$.

Dichtefunktion und Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen hängen mathematisch in der folgenden Weise zusammen: Die Dichtefunktion ist die erste Ableitung der Verteilungsfunktion, also

${\frac {\partial F(x)}{\partial x}}=F^{\prime }(x)=f(x){\mbox{.}}$

Verteilungsfunktion zweidimensionaler Zufallsvariablen

Die Verteilungsfunktion zweidimensionaler Zufallsvariablen gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable $X$ höchstens den Wert $x$ und gleichzeitig die Zufallsvariable $Y$ höchstens den Wert $y$ annimmt.

Diskrete Verteilungsfunktion von zweidimensionalen Zufallsvariablen

Seien $X$ und $Y$ zwei diskrete Zufallsvariablen. Dann ist die Verteilungsfunktion definiert durch:

$F(x,y)=P(X\leq x,\,Y\leq y)=\sum \nolimits _{x_{i}\leq x}\sum \nolimits _{y_{j}\leq y}f(x_{i},y_{j})$

Stetige Verteilungsfunktion von zweidimensionalen Zufallsvariablen

Seien $X$ und $Y$ zwei stetige Zufallsvariablen. Dann ist die Verteilungsfunktion definiert durch:

$F(x,y)=\int \nolimits _{-\infty }^{y}\int \nolimits _{-\infty }^{x}f(u,v)\,du\,dv$

Beispiele

Münzwurf

Beim dreimaligen Werfen einer idealen Münze ist das Interesse auf die Anzahl des Auftretens der Ausprägung "Zahl (Z)" gerichtet.

Die zugehörige Zufallsvariable $X$ ist:

$X=\{{\mbox{Anzahl von 'Zahl' beim dreimaligen Werfen einer idealen Münze}}\}$ mit den Realisationen $x_{1}=0;\;x_{2}=1;\;x_{3}=2;$ und $\,x_{4}=3$.

Elementarereignis $\,E_{j}$	Wahrscheinlichkeit $\,P(E_{j})$	Zufallsvariable $X$ Realisationen $x_{i}\,$	Wahrscheinlichkeitsfunktion $\,P(X=x_{i})=f(x_{i})$
$\,E_{1}=\{hhh\}$	$\,P(E_{1})=0,125$	$\,x_{1}=0$	$\,f(x_{1})=0,125$
$\,E_{2}=\{hho\}$	$\,P(E_{2})=0,125$
$\,E_{3}=\{hoh\}$	$\,P(E_{3})=0,125$	$\,x_{2}=1$	$\,f(x_{2})=0,375$
$\,E_{4}=\{ohh\}$	$\,P(E_{4})=0,125$
$\,E_{5}=\{hoo\}$	$\,P(E_{5})=0,125$
$\,E_{6}=\{oho\}$	$\,P(E_{6})=0,125$	$\,x_{3}=2$	$\,f(x_{3})=0,375$
$\,E_{7}=\{ooh\}$	$\,P(E_{7})=0,125$
$\,E_{8}=\{ooo\}$	$\,P(E_{8})=0,125$	$\,x_{4}=3$	$\,f(x_{4})=0,125$

Die Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeiten $P(E_{j})$ beruht auf dem Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse.

Die Verteilungsfunktion ergibt sich als sukzessives Aufsummieren der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Realisationen der Zufallsvariablen $X$.

Zum Beispiel:

$F(1)=f(0)+f(1)=0,125+0,375=0,5$

Insgesamt erhält man:

$F(x)={\begin{cases}0\,&{\mbox{, wenn }}x<0\\0,125\,&{\mbox{, wenn }}0\leq x<1\\0,500\,&{\mbox{, wenn }}1\leq x<2\\0,875\,&{\mbox{, wenn }}2\leq x<3\\1,000\,&{\mbox{, wenn }}3\leq x\end{cases}}$

Folglich kann die Verteilungsfunktion auch grafisch dargestellt werden:

Haushaltsgröße

Aus "Statistisches Jahrbuch 1998", herausgegeben vom Statistischen Landesamt Berlin, Kulturbuch-Verlag Berlin, S. 61, können nachstehende Angaben über die Größe von Privathaushalten in Berlin für April 1998 entnommen werden:

Anzahl der im Haushalt lebenden Personen	Anzahl der Privathaushalte (in 1000)
1	820,7
2	564,7
3	222,9
4 und mehr	195,8
Summe	1804.1

Wenn $X$ die Anzahl der im Haushalt lebenden Personen eines zufällig ausgewählten Berliner Privathaushaltes im April 1998 (kurz: Haushaltsgröße) ist, dann bedeuten::

$x_{1}=1$	Einpersonenhaushalt
$x_{2}=2$	Zweipersonenhaushalt
$x_{3}=3$	Dreipersonenhaushalt
$x_{4}=4$	Vier- und Mehrpersonenhaushalt.

Vor der zufälligen Auswahl des Privathaushaltes liegt die Haushaltsgröße noch nicht konkret vor; sie kann jedoch die angegebenen möglichen Realisationen annehmen.

$X=\{{\mbox{Haushaltsgröße}}\}$ ist somit eine Zufallsvariable. Sie ist diskret, da der zulässige Wertebereich nur die ganzzahligen Werte $1,2,3,4$ umfasst.

Die relativen Häufigkeiten für die Gesamtheit der Privathaushalte in Berlin ergeben die theoretischen Wahrscheinlichkeiten der möglichen Realisationen von $X$, wobei hier auf die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit zurückgegriffen wird.

Die gemeinsame Auflistung der Realisationen von $X$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ergibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion:

Haushaltsgröße $x_{j}$	$f(x_{j})$
1	0,4549
2	0,3130
3	0,1236
4	0,1085
Summe	1,0000

Als Verteilungsfunktion mit $F(x)=P(X\leq x)$ folgt:

Haushaltsgröße $x_{j}$	$F(x)$
1	0,4549
2	0,7679
3	0,8915
4	1,0000

Aus der Verteilungsfunktion kann z.B. abgelesen werden:

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem im April 1998 in Berlin zufällig ausgewählten Privathaushalt höchstens 2 Personen leben $(X\leq 2)$, beträgt 0,7679.

Mittels der Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. der Verteilungsfunktion lassen sich weitere Wahrscheinlichkeiten ermitteln, z.B.

• Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem im April 1998 in Berlin zufällig ausgewählten Privathaushalt mehr als 2 Personen $(X>2)$ leben, ist:

$P(X>2)=1-F(2)=1-0,7679=0,2321$

oder

$P(X>2)=f(3)+f(4)=0,1236+0,1085=0,2321$.

• Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem im April 1998 in Berlin zufällig ausgewählten Privathaushalt mehr als 1 Person, jedoch höchstens 3 Personen leben, ist:

$P(1<X\leq 3)=F(3)-F(1)=0,8915-0,4549=0,4366$

oder

$P(1<X\leq 3)=f(2)+f(3)=0,3130+0,1236=0,4366$.