Randverteilungen, Bedingte Verteilungen

Bivariate Statistik

Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung • Graphische Darstellung zweidimensionaler Verteilungen • Randverteilungen, Bedingte Verteilungen • Parameter zweidimensionaler Verteilungen (empirisch) • Kontingenz • Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient • Kendall'scher Rangkorrelationskoeffizient • Kovarianz (empirisch) • Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizient • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen

3D-Balkendiagramm • 3D-Scatterplot • Absolute Häufigkeit (zweidimensional) • Ausprägungskombination • Bedingte Verteilung (empirisch) • Bindung • Chi-Quadrat-Koeffizient • Diskordante Merkmalspaare • Gegensinnige Merkmalspaare • Gemeinsame Variation • Gleichsinnige Merkmalspaare • Gruppiertes Balkendiagramm • Häufigkeitstabelle (zweidimensional) • Konditionale Verteilung • Konkordante Merkmalspaare • Kontingenzkoeffizient • Kontingenztabelle • Korrelation • Korrelationskoeffizient (empirisch) • Korrelationskoeffizient (nach Bravais-Pearson) • Korrigierter Kontingenzkoeffizient • Kreuztabelle • linearer Zusammenhang • Marginale Verteilung (empirisch) • Parameter (emp. Randverteilung) • Parameter (emp. bedingte Verteilung) • Quadratische Kontingenz • Randverteilung (empirisch) • Relative Häufigkeit (zweidimensional) • Scatterplot • Scatterplot-Matrix • Streuungsdiagramm • Unabhängigkeit (empirisch) • Unabhängigkeit (statistisch) • Variation (Streuung)

Grundbegriffe

Empirische Randverteilung oder marginale Verteilung

Gegeben sei eine zweidimensionale Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale $X\;$ und $Y\;$ .

Die eindimensionale Häufigkeitsverteilung des Merkmals $X\;$ (bzw. $Y\;$ ), bei der das Auftreten des Merkmals $Y\;$ (bzw. $X\;$ ) nicht berücksichtigt wird, heisst Randverteilung oder marginale Verteilung von $X\;$ (bzw. $Y\;$ ).

Die Randverteilung ergibt sich durch "Aufsummieren" der Häufigkeitsverteilungen für die einzelnen Merkmalsausprägungen, z.B. für die Randverteilung von $X$ :

Merkmal $X\;$	Merkmal $Y\;$			Randverteilung $X\;$
Merkmal $X\;$	$\,y_{1}$	$\,y_{2}$	$\,y_{3}$	Randverteilung $X\;$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$\,x_{i}$	$\,h(x_{i},y_{1})$	$\,h(x_{i},y_{2})$	$\,h(x_{i},y_{3})$	$\,=h(x_{i},y_{1})+h(x_{i},y_{2})+h(x_{i},y_{3})$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
Randverteilung $Y\;$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

Randverteilung für das Merkmal $X\;$ mit den Merkmalsausprägungen $x_{j}$ :

$h_{i\bullet }=\sum _{j=1}^{r}h_{ij};\quad i=1,...,,m$

Randverteilung für das Merkmal $Y\;$ mit den Merkmalsausprägungen $y_{j}$ :

$h_{\bullet j}=\sum _{i=1}^{m}h_{ij};\quad j=1,...,r$

Gesamtzahl der Merkmalsausprägungen von $X\;$ und $Y\;$ (gleich $n$ ):

$h_{\bullet \bullet }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}h_{ij}=\sum _{i=1}^{m}h_{i\bullet }=\sum _{j=1}^{r}h_{\bullet j}=n$

Empirische bedingte Verteilung oder konditionale Verteilung

Gegeben sei eine zweidimensionale Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale $X\;$ und $Y\;$ .

Die Häufigkeitsverteilung von $X\;$ (bzw. $Y\;$ ), die sich für eine bestimmte Ausprägung von $Y\;$ (bzw. $X\;$ ) ergibt, heißt bedingte Verteilung oder konditionale Verteilung von $X\;$ (bzw. $Y\;$ ) für ein gegebenes $y_{j}$ (bzw. $x_{i}$ ).

Bedingte relative Häufigkeitsverteilung von $X\;$ für gegebenes $Y=y_{j}$ :

$f(x_{i}|Y=y_{j})=f(x_{i}|y_{j})={\frac {f_{ij}}{f_{\bullet j}}}={\frac {h_{ij}}{h_{\bullet j}}}$

Bedingte relative Häufigkeitsverteilung von $Y\;$ für gegebenes $X=x_{i}$ :

$f(y_{j}|X=x_{i})=f(y_{j}|x_{i})={\frac {f_{ij}}{f_{i\bullet }}}={\frac {h_{ij}}{h_{i\bullet }}}$

Die bedingten Verteilungen sind eindimensionale Verteilungen.

Empirische oder statistische Unabhängigkeit

Empirische oder statistische Unabhängigkeit bedeutet, dass die Verteilung des einen Merkmals nicht davon abhängt, welche Werte das andere Merkmal annimmt.

Sind zwei Merkmale $X\;$ und $Y\;$ voneinander unabhängig, dann gilt:

Alle bedingten Verteilungen für $X\;$ bzw. für $Y\;$ stimmen untereinander und mit der entsprechenden Randverteilung überein, d.h. für die bedingte Verteilung von $X\;$ gilt

f(x_{i}|y_{j})=f(x_{i}|y_{k})=f(x_{i})

für alle

j,k=1,\ldots ,r

und für alle

i=1,\ldots ,m

und für die bedingte Verteilung von

Y\;

gilt

f(y_{j}|x_{i})=f(y_{j}|x_{h})=f(y_{j})

für alle

i,h=1,\ldots ,m

und für alle

j=1,\ldots ,r

Die relative Häufigkeit für das gemeinsame Auftreten der Ausprägungen $x_{j}$ und $y_{j}$ der Merkmale $X\;$ und $Y\;$ ist gleich dem Produkt der relativen Häufigkeiten der Randverteilungen.

f(x_{i}|y_{j})=f(x_{i})={\frac {f(x_{i},y_{j})}{f(y_{j})}}\Rightarrow f(x_{i},y_{j})=f(x_{i})\cdot f(y_{j})

f(y_{j}|x_{i})=f(y_{j})={\frac {f(x_{i},y_{j})}{f(x_{i})}}\Rightarrow f(x_{i},y_{j})=f(x_{i})\cdot f(y_{j})

Eine analoge Darstellung unter Verwendung der absoluten Häufigkeiten ist:

h(x_{i};y_{j})={\frac {h(x_{i})\cdot h(y_{j})}{n}}

Dies muss für alle

(i=1,\ldots ,m;

und

j=1,\ldots ,r)

gelten.

Andernfalls heißen die beiden Merkmale $X\;$ und $Y\;$ empirisch abhängig.

Beispiele

Berufsgruppe und Sport

Ausgangspunkt für die folgende $5\times 3$ Kontingenztabelle sind die Variablen:

$X\;$ - Berufsgruppe (nominalskaliert)

$Y\;$ - sportliche Betätigung (nominalskaliert),

die an $n=1000$ berufstätigen Personen beobachtet wurden.

Berufsgruppe $X\;$	sportliche Betätigung $Y\;$			RV $X\;$
Berufsgruppe $X\;$	kaum	manchmal	regelmäßig	RV $X\;$
Arbeiter	240	120	70	430
Angestellter	160	90	90	340
Beamter	30	30	30	90
Landwirt	37	7	6	50
sonstiger freier Beruf	40	32	18	90
RV $Y\;$	507	279	214	1000

Die bedingten Verteilungen des Merkmals $Y\;$ (sportliche Betätigung) für gegebene $x_{i}$ (Berufsgruppe):

Berufsgruppe $X\;$	sportliche Betätigung $Y\;$
Berufsgruppe $X\;$	kaum	gelegentlich	regelmäßig
Arbeiter	0,56	0,28	0,16	1,00
Angestellter	0,47	0,26	0,26	1,00
Beamter	0,33	0,33	0,33	1,00
Landwirt	0,74	0,14	0,12	1,00
sonstiger freier Beruf	0,44	0,36	0,20	1,00

Studenten

Von 107 Studenten wurden in einer Befragung unter anderem ihr Fachbereich und ihr Geschlecht erfasst.

Aus den Ergebnissen lässt sich die folgende $9\times 2$ Kontingenztabelle darstellen:

	Frau	Mann	RV (Fachber.)
Geist.	12	13	25
Ing.	1	1	2
Jura	8	13	21
Mediz.	6	4	10
Natur.	1	8	9
Psych.	3	8	11
Sonst.	1	0	1
Theol.	7	2	9
WiWi	5	14	19
RV (Geschl.)	44	63	107

An dieser Stelle interessiert, welchen Anteil die Frauen bzw. Männer innerhalb der einzelnen Fachbereiche stellen.

Die bedingte Verteilung des Geschlechts für gegebene Fachbereiche gibt darüber Auskunft.

Die Werte ergeben sich als Quotient aus dem jeweiligen Zellenwert und dem Wert der dazugehörigen Randverteilung des Fachbereichs.

	Frau	Mann
Geist.	0,480	0,520	1,000
Ing.	0,500	0,500	1,000
Jura	0,381	0,619	1,000
Mediz.	0,600	0,400	1,000
Natur.	0,111	0,889	1,000
Psych.	0,273	0,727	1,000
Sonst.	1,000	0,000	1,000
Theol.	0,778	0,222	1,000
WiWi	0,263	0,737	1,000
Gesamt	0,411	0,589	1,000

Im Ergebnis dieser Befragung zeigt sich zum Beispiel, dass der Studiengang Wirtschaftswissenschaften von den Männern dominiert wird.

Sie stellen 73,7% der Studenten in diesem Fachbereich.

Im Fachbereich Theologie dagegen bilden die Frauen mit einem Anteil von 77,8% die Mehrheit.

Schulbildung und Alter

Im Rahmen einer Befragung von 941 Personen wurden unter anderem ihr Alter (gruppiert in 18-29, 30-39 und 40-49) und ihre Schulbildung (Universität, Abitur, Realschule, Volkshochschule) erfasst.

Aus den Ergebnissen lässt sich die folgende $3\times 4$ Kontingenztabelle darstellen:

	Universtät	Abitur	Realschule	VHS	RV (Alter)
18-29	38	93	134	42	307
30-39	23	94	168	70	355
40-49	12	39	129	99	279
RV (Bildung)	73	226	431	211	941

Die bedingte Verteilung der Schulbildung für eine gegebene Altersgruppe ergibt sich wie folgt:

	Universtät	Abitur	Realschule	VHS
18-29	0,124	0,303	0,436	0,137	1,000
30-39	0,065	0,265	0,473	0,197	1,000
40-49	0,043	0,140	0,462	0,355	1,000

Die Werte ergeben sich als Quotient aus dem jeweiligen Zellenwert und dem Wert der dazugehörigen Randverteilung der Altersgruppe.

Die obige Tabelle zeigt, dass beispielsweise in der Gruppe der 18-29 jährigen 12,4% eine Hochschulausbildung, 30,3% Abitur und 43,6% eine Realschulausbildung haben.

In der Gruppe der 40-49 jährigen beträgt der Anteil der Personen mit abgeschlossener Hochschulausbildung nur 4,3%.

Analog lässt sich die bedingte Verteilung der Altersgruppen für eine gegebene Schulbildung errechnen:

	Universtät	Abitur	Realschule	VHS
18-29	0,521	0,411	0,311	0,199
30-39	0,315	0,416	0,390	0,332
40-49	0,164	0,173	0,299	0,469
	1,000	1,000	1,000	1,000

Hierbei zeigt sich beispielsweise, dass die Personen, die ein abgeschlossenes Abitur (ohne Studium) haben, zu 41,1% der Altersgruppe 18-29, zu 41,6% der Altersgruppe 30-39 und zu 17,3% der Altersgruppe 40-49 angehören.

Rauchen und Lungenkrebs

An $n=100$ zufällig ausgewählten Personen wurde festgestellt, ob sie rauchen und ob bei ihnen Lungenkrebs aufgetreten ist.

Die Variablen sind

$X\;$ - "Rauchen" mit den Ausprägungen $x_{1}=$ ja und $x_{2}=$ nein

$Y\;$ - Auftreten von "Lungenkrebs" mit den Ausprägungen $y_{1}=$ ja und $y_{2}=$ nein

Das Ergebnis der Untersuchung ist in der folgenden $2\times 2$ Kontingenztabelle dargestellt:

	Lungenkrebs ja $(y_{1})$	Lungenkrebs nein $(y_{2})$	RV $X\;$
Rauchen ja $(x_{1})$	10	15	25
Rauchen nein $(x_{2})$	5	70	75
RV $Y\;$	15	85	100

Die bedingte Verteilung des Merkmals $X\;$ (Rauchen) für gegebene $y_{j}$ (Auftreten von Lungenkrebs) bei $100$ Personen:

	Lungenkrebs ja $(y_{1})$	Lungenkrebs nein $(y_{2})$
Rauchen ja $(x_{1})$	0,667	0,176
Rauchen nein $(x_{2})$	0,333	0,824
	1,000	1,000

Die Werte ergeben sich als Quotient aus dem jeweiligen Zellenwert und dem Wert der dazugehörigen Randverteilung (Lungenkrebs ja bzw. nein).

Die obige Tabelle zeigt, dass 66,7% der Personen, bei denen Lungenkrebs festgestellt wurde, zu den Rauchern gehören.

82,4% der Personen, die keinen Lungenkrebs haben, sind Nichtraucher.

Analog ist die bedingte Verteilung des Merkmals $Y\;$ (Lungenkrebs) für gegebene $x_{i}$ (Rauchen) bei $100$ Personen dargestellt:

	Lungenkrebs ja $(y_{1})$	Lungenkrebs nein $(y_{2})$
Rauchen ja $(x_{1})$	0,400	0,600	1,000
Rauchen nein $(x_{2})$	0,067	0,933	1,000

Hierbei zeigt sich, dass an 40% aller Raucher, aber nur an 6,7% aller Nichtraucher Lungenkrebs beobachtet wurde.