Chi-Quadrat-Anpassungstest/Beispiel: Produktnachfrage (2.Version)

Beispiele

Produktnachfrage (2. Version)

Eine Vertriebsgesellschaft führt eine umfassende Analyse ihrer Geschäftsaktivitäten durch, worunter auch die tägliche Nachfrage nach einem ihrer Spezialprodukte fällt.

In diesem Zusammenhang ist von besonderem Interesse, welche Verteilung die Anzahl der täglich nachgefragten Produkte aufweist.

Bei der Nachfrage nach dem Produkt handelt es sich um ein Ereignis, dass wiederholt, jedoch zufällig und unabhängig voneinander in einem Kontinuum (hier: Zeit) vorgegebenen Umfangs (hier: Tag) auftreten kann.

Die Zufallsvariable $X\;$ bezeichne die Anzahl der täglich nachgefragten Produkte und ist diskret.

Es wird somit vermutet (vgl. Abschnitt "Poisson-Verteilung"), dass die Poisson-Verteilung ein adäquates Verteilungsmodell ist: $X\sim PO(\lambda )\;$.

Der Test soll auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,05$ durchgeführt werden. Eine einfache Zufallsstichprobe von $n=50$ Tagen lieferte die beobachteten Daten, die in den Spalten 2 und 3 der Tabelle 1 enthalten sind.

Es wird auch bei dieser Version vermutet, dass die Poisson-Verteilung ein adäquates Verteilungsmodell ist: $X\sim PO(\lambda )$.

Es liegen jedoch keine Erkenntnisse bzw. Erfahrungen über den Parameter $\lambda$ vor. Der unbekannte Parameter $\lambda$ muss aus der Stichprobe geschätzt werden.

Es wird die Zufallsstichprobe vom Umfang $n=50$ aus der 1. Version verwendet. Wegen $E[X]=\lambda$ ist der Stichprobenmittelwert

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}X_{i}$

eine geeignete Schätzfunktion. Als gewogenes arithmetisches Mittel aus der Stichprobe resultiert: ${\bar {x}}=125/50=2,5$.

Das Hypothesenpaar lautet damit:

$H_{0}:X\;$ ist Poisson-verteilt mit dem Parameter $\lambda =2,5$, d.h. $X\sim PO\left(2,5\right)$

$H_{1}:X\;$ ist nicht $PO\left(2,5\right)$-verteilt.

In den Spalten 4 und 5 der Tabelle 3 sind die unter $H_{0}$ geschätzten hypothetischen Wahrscheinlichkeiten $P(X=x_{j}|H_{0})=p_{j}$ (die aus der Tabelle der $PO(2,5)$ entnommen wurden) und absoluten Häufigkeiten $n\cdot p_{j}$ enthalten.

Tabelle 3

$j\;$	Anzahl nachgefragter $x_{j}$ Produkte $(x_{j})$	Anzahl der Tage mit $x_{j}$ nachgefragten Produkten $h{j}$	$p_{j}=P\left(X=x_{j}|H_{0}\right)$	$n\cdot p_{j}|H_{0}$
1	0	3	0,0821	4,105
2	1	9	0,2052	10,260
3	2	14	0,2565	12,825
4	3	13	0,2138	10,690
5	4	6	0,1336	6,680
6	5	5	0,0668	3,340
7	6 und mehr	0	0,0420	2,100

Teststatistik und Entscheidungsbereiche

Es wird wieder die Teststatistik

$V=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\left(H_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}}{n\cdot p_{j}}}$

verwendet, die bei Gültigkeit der Nullhypothese approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit $f=k-m-1$ Freiheitsgraden ist.

Überprüfung der Approximationsbedingungen:

Wie aus der Spalte 5 der Tabelle 3 ersichtlich, ist für die Realisation $x_{1}=0$ die Approximationsbedingung $n\cdot p_{j}\geq 5$ nicht erfüllt, so dass sie mit $x_{2}$ zusammengefasst wird.

Weiterhin ist für die Realisationen $x_{6}=5$ und $x_{7}=6$ und mehr die Approximationsbedingung $n\cdot p_{j}\geq 5$ nicht erfüllt, so dass diese beiden Realisationen zusammengefasst werden.

Bestimmung der Anzahl der Freiheitsgrade:

Nach der Zusammenfassung verbleiben noch $k=5$ Klassen. Da der Parameter $\lambda$ aus der Stichprobe geschätzt werden musste, ist $m=1$ und somit $f=5-1-1=3$.

Unter $H_{0}$ ist die Teststatistik $V\;$ approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit $f=3$ Freiheitsgraden.

Für $P(V\leq c)=0,95$ und $f=3$ findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung den kritischen Wert $c=\chi _{1-\alpha ;f}^{2}=\chi _{0,95;3}^{2}=7,81$.

Die Entscheidungsbereiche sind damit:

Ablehnungsbereich der $H_{0}:\;\left\{v|v>7,81\right\}$

Nichtablehnungsbereich der $H_{0}:\;\left\{v|v\leq 7,81\right\}$.

Prüfwert und Testentscheidung

Die Tabelle 4 enthält alle notwendigen Zwischenergebnisse für die Berechnung des Prüfwertes

Tabelle 4

$x_{j}\;$	$h{j}\;$	$n\cdot p_{j}$	$h_{j}-n\cdot p_{j}$	$\left(h_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}$	${\frac {\left(h_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}}{n\cdot p_{j}}}$
0-1	12	14,365	-2,365	5,5932	0,3894
2	14	12,825	1,175	1,3806	0,1076
3	13	10,690	2,310	5,3361	0,4992
4	6	6,680	-0,680	0,4624	0,0692
5 und mehr	5	5,440	-0,440	0,1936	0,0356

Der Prüfwert ergibt sich als Summe der Werte in der letzten Spalte: $v=1,101$.

Da $v$ in den Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ fällt, wird die Nullhypothese nicht verworfen $({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}})$.

Basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=50$ konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Zufallsvariable $X:\;$ "Anzahl der täglich nachgefragten Produkte" nicht einer $PO(2,5)$ folgt.

Bei dieser Entscheidung für $H_{0}$ besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art $({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}}|H_{1})$ zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art $P({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}}|H_{1})=\beta$ ist jedoch unbekannt.