Kovarianz (empirisch)

Grundbegriffe

(Empirische) Kovarianz

Die empirische Kovarianz oder auch kurz Kovarianz ist ein spezieller Parameter für zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen, der die gemeinsame Variabilität zweier metrisch skalierter Merkmale $X$ und $Y$ misst.

Die Kovarianz wird kaum als eigenständiger Parameter verwendet. Sie dient vielmehr als Hilfsgröße, die zur Berechnung anderer Parameter gebraucht wird (vgl. Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizient).

Für eine zweidimensionale Häufigkeitsverteilung mit den absoluten Häufigkeiten $h(x_{i};y_{j})$ bzw. den relativen Häufigkeiten $f(x_{i};y_{j})\ {\mbox{mit}}\ i=1,\ldots ,m,j=1,\ldots ,r$ berechnet sich die Kovarianz wie folgt:

$Cov(X,Y)=s_{xy}\;$	$={\frac {1}{n\cdot (n-1)}}\cdot \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{j}-{\bar {y}})\cdot h_{ij}$
	$={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{m}\cdot \sum _{j=1}^{r}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{j}-{\bar {y}})\cdot f_{ij}$

Im Gegensatz zur empirischen Varianz kann die Kovarianz auch negative Werte annehmen.

Zusatzinformationen

Kovarianz bei Unabhängigkeit

Sind die Merkmale $X\;$ und $Y\;$ voneinander unabhängig, besteht also zwischen den Merkmalen $X\;$ und $Y\;$ kein Zusammenhang, nimmt die Kovarianz den Wert Null an.

Es gilt: $Cov(X,Y)=s_{xy}=0$

Beweis:

$\,s_{xy}$	$=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}(x_{i}-E(x))\cdot (y_{j}-E(y))\cdot p_{ij}$
	$=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}(x_{i}-E(x))(y_{j}-E(y))\cdot p_{i}\cdot p_{j}$
	$=\left(\sum _{i=1}^{m}(x_{i}-E(x))\cdot p_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{r}(y_{j}-E(y))\cdot p_{j}\right)$
	$=\left(\sum _{i=1}^{m}x_{i}p_{i}-E(x)\cdot \sum _{i=1}^{m}p_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{r}y_{j}p_{j}-E(y)\cdot \sum _{j=1}^{r}p_{j}\right)$
	$\,=\left(E(x)-E(x)\right)\cdot \left(E(y)-E(y)\right)=0$

Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht zwangsläufig. Das heißt, wenn die Kovarianz zwischen den Merkmalen $X\;$ und $Y\;$ Null ist, kann nicht unbedingt daraus geschlossen werden, dass sie unabhängig sind.

Kovarianz und Varianz

Die empirische Kovarianz eines Merkmals mit sich selbst entspricht der empirischen Varianz dieses Merkmals $s_{x}^{2}=s_{xx}=Cov(X,X)$

Lineare Transformation

$S=a+bX,\quad T=c+dY$

$Cov(S,T)=Cov(a+bX,c+dY)=b\cdot d\cdot Cov(X,Y)$

Beispiele

Gewinn und Miete

An $n=15$ Unternehmen wurden die Merkmale $Y\;$ - Jahresgewinn (in Mio. €) und $X\;$ - Jahresmiete für die EDV-Anlage (in 1000 €) beobachtet, deren Merkmalswerte in den Spalten 2 und 3 der folgenden Tabelle enthalten sind.

Unternehmen	Jahresgewinn in Mio. €	Jahresmiete in 1000 €
$\,i$	$\,y_{i}$	$\,x_{i}$	$(y_{i}-{\bar {y}})$	$(x_{i}-{\bar {x}})$	$(y_{i}-{\bar {y}})\cdot (x_{i}-{\bar {x}})$
1	10	30	-20	-170	3400
2	15	30	-15	-170	2550
3	15	100	-15	-100	1500
4	20	50	-10	-150	1500
5	20	100	-10	-100	1000
6	25	80	-5	-120	600
7	30	50	0	-150	0
8	30	100	0	-100	0
9	30	250	0	50	0
10	35	180	5	-20	-100
11	35	330	5	130	650
12	40	200	10	0	0
13	45	400	15	200	3000
14	50	500	20	300	6000
15	50	600	20	400	8000

Wie groß ist die gemeinsame Variabilität der Merkmale $X\;$ und $Y\;$ bei diesen 15 Unternehmen?

Die arithmetischen Mittel der Merkmale sind:

${\bar {y}}=30$ (Mio. €)

${\bar {x}}=200$ (1000 €)

Die Abweichungen der Merkmalswerte des Merkmals $Y\;$ vom arithmetischen Mittel ${\bar {Y}}$ enthält die Spalte 4 der Tabelle.

Die Abweichungen der Merkmalswerte von $X\;$ vom arithmetischen Mittel ${\bar {X}}$ sind in Spalte 5 angegeben.

Die Kovarianz errechnet sich nach der Formel

$\,Cov(X,Y)=s_{XY}$	$\,={\frac {1}{n-1}}\cdot \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{j}-{\bar {y}})\cdot h_{ij}$
	$={\sum _{i=1}^{m}}\sum _{j=1}^{r}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})\cdot f_{ij}$

Die Abweichungsprodukte für jedes Unternehmen enthält die Spalte 6 der Tabelle.

Die Summe der Werte in dieser Spalte, dividiert durch $n=15$, ist die gesuchte Kovarianz:

$\,Cov(X,Y)=s_{XY}={\frac {28100}{15}}=1873,33$.