Verteilung der Stichprobenvarianz/Beispiele

Beispiele

Arbeitsgang

Für die Beurteilung der Gleichmäßigkeit der benötigten Zeit von Arbeitsgängen wird vielfach die Streuung herangezogen.

Die von einem Arbeiter benötigte Zeit für einen bestimmten Arbeitsgang ist die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit.

$X\;$ sei normalverteilt mit $E[X]=\mu$ und $Var(X)=\sigma ^{2}$.

Es wird eine Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ gezogen.

Da die Grundgesamtheit aus allen möglichen Zeitmessungen für den gleichen Arbeitsgang, ausgeführt von demselben Arbeiter, besteht und deshalb als sehr groß angesehen werden kann, wird von der Realisierung einer einfachen Zufallsstichprobe ausgegangen.

Die Stichprobenvariablen $X_{i}=\;$ "i-te Zeitmessung für den Arbeitsgang" $(i=1,\ldots ,n)$ sind somit unabhängig voneinander und identisch normalverteilt.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Es wird eine Zufallsstichprobe vom Umfang $n=15$ gezogen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobenvarianz $S^{2}\;$ Werte im Intervall $\left[0,5\cdot \sigma ^{2};1,5\cdot \sigma ^{2}\right]$ annimmt?

Gesucht ist somit $P\left(0,5\cdot \sigma ^{2}\leq s^{2}\leq 1,5\cdot \sigma ^{2}\right)$.

Zur Lösung wird jede Seite der Ungleichung mit ${\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}$ erweitert:

$P\left(0,5\cdot \sigma ^{2}\leq S^{2}\leq 1,5\cdot \sigma ^{2}\right)$	$=P\left({\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}\cdot 0,5\cdot \sigma ^{2}\leq {\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}\cdot S^{2}\leq {\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}\cdot 1,5\cdot \sigma ^{2}\right)$
	$=P\left((n-1)\cdot 1,5\leq {\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}\cdot S^{2}\leq (n-1)\cdot 1,5\right)$

Mit $n-1=14$ folgt:

$P\left(0,5\cdot \sigma ^{2}\leq S^{2}\leq 1,5\cdot \sigma ^{2}\right)=P\left(7\leq {\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}\cdot S^{2}\leq 21\right)$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobenvarianz $S^{2}\;$ Werte zwischen $0,5\cdot \sigma ^{2}$ und $1,5\cdot \sigma ^{2}$ annimmt, ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit, dass die transformierte Zufallsvariable ${\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\sigma ^{2}}}$ Werte zwischen 7 und 21 annimmt.

Die Zufallsvariable ${\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\sigma ^{2}}}$ ist Chi-Quadrat-verteilt mit $f=n-1=14$ Freiheitsgraden, so dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit mittels Tabellen der Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung bzw. über Computerberechnungen bestimmt werden kann:

$P\left(0,5\cdot \sigma ^{2}\leq S^{2}\leq 1,5\cdot \sigma ^{2}\right)$	$=P\left(7\leq {\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}\cdot S^{2}\leq 21\right)$
	$=P\left({\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}\cdot S^{2}\leq 21\right)-P\left({\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}\cdot S^{2}\leq 7\right)$
	$\,=0,8984-0,0653=0,8331$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobenvarianz $S^{2}\;$ Werte im Intervall $\left[0,5\cdot \sigma ^{2};1,5\cdot \sigma ^{2}\right]$ annimmt, beträgt 0,8331.

Die folgende Grafik zeigt die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit $f=14$, wobei $Y={\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}$ repräsentiert.

<R output="display"> pdf(rpdf,height=7,width=7) curve(from=0, to=35, dchisq(x, df=14), xaxt="n", , yaxt="n", ylab="f(y)", xlab="y", col="blue", ylim=c(0.0,0.09), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") axis( side=1, at=3.5*c(0:10), tick=TRUE) axis( side=2, at=0.03*c(0:3), tick=TRUE) par(new=TRUE) xx <-c(7:21, 21:7) yy <-c(c(dchisq(c(7:21), df=14)),c(rep(0,15))) polygon(xx, yy, col="palegreen", border=NA) par(new=TRUE) curve(from=0, to=35, dchisq(x, df=14), xaxt="n", , yaxt="n", ylab="f(y)", xlab="y", col="blue", ylim=c(0.0,0.09), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=7, col="black", lwd=1, lty=2) abline(v=21, col="black", lwd=1, lty=2) </R>

Zentrales Schwankungsintervall der Stichprobenvarianz

Es soll ein zentrales Schwankungsintervall für die Stichprobenvarianz $S^{2}\;$ mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit $1-\alpha =0.95$ bestimmt werden, wenn die gleiche Grundgesamtheit vorausgesetzt und eine Zufallsstichprobe vom Umfang $n=30$ gezogen wird.

Aufgrund von

$P\left(v_{1}\leq {\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq v_{2}\right)=0,95$

und

$P\left({\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq v_{1}\right)=0,025;\qquad P\left({\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq v_{2}\right)=0,975$

findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit $f=29$ Freiheitsgraden:

$v_{1}=16,05$ und $v_{2}=45,72$.

Damit wird:

$P\left(16,05\leq {\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq 45,72\right)=0,95$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 nimmt die transformierte Zufallsvariable ${\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\sigma ^{2}}}$ Werte im Intervall $\left[16,05;\;45,72\right]$ an.

Durch Umformung ergibt sich ein zentrales Schwankungsintervall für $S^{2}\;$:

$P\left({\frac {16,05\cdot \sigma ^{2}}{n-1}}\leq S^{2}\leq {\frac {45,72\cdot \sigma ^{2}}{n-1}}\right)=0,95$

$P\left(0,5534\cdot \sigma ^{2}\leq S^{2}\leq 1,5766\cdot \sigma ^{2}\right)=0,95\;$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 nimmt die Stichprobenvarianz $S^{2}\;$ Werte im Intervall $\left[0,5534\cdot \sigma ^{2};1,5766\cdot \sigma ^{2}\right]$ an.

Die Grenzen des Intervalls können nur bestimmt werden, wenn die Varianz $\sigma ^{2}$ der Zufallsvariablen $X=\;$ "benötigte Zeit für einen bestimmten Arbeitsgang" in der Grundgesamtheit bekannt ist.