Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizient

Grundbegriffe

Variation (Streuung)

Unter Variation im Sinne der Streuungsbetrachtung wird die Abweichnung der Merkmalsausprägungen von ihrem arithmetischen Mittel betrachtet.

Gemeinsame Variation

Die Merkmalswerte werden in einem ersten Schritt zentriert:

${x_{i}^{*}}=x_{i}-{\bar {x}}$

${y_{i}^{*}}=y_{i}-{\bar {y}}$

Die gemeinsame Variation beider Merkmale ergibt sich als Produkt der Abweichungen der Beobachtungen vom arithmetischen Mittel (vgl. auch Berechnung der empirischen Kovarianz):

$\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{*}}{y_{i}^{*}}=\sum _{k=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})$

Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient oder empirischer Korrelationskoeffizient

Die Stärke des Zusammenhanges zwischen zwei metrisch skalierten Merkmalen $X\;$ und $Y\;$ wird durch die gemeinsame Variation der beiden Merkmale bestimmt.

Das Ausmaß der gemeinsamen Variation wird stark von der Maßeinheit der Merkmale und der Anzahl der Beobachtungen beeinflusst

So beträgt beispielsweise das arithmetische Mittel des einen Merkmals $8$ und der Beobachtungswert $10$, das arithmetische Mittel des anderen Merkmals $1008$ und der Beobachtungswert $1260$.

Obwohl die Abweichung des ersten Wertes 2 und des zweiten Wertes dagegen 252 beträgt, ist die relative Abweichung vom arithmetischen Mittel bei beiden gleich 25%.

Um vergleichbare Abweichungen der Merkmale zu erreichen, wird eine Standardisierung der gemeinsamen Variation vorgenommen:

${\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{s_{x}}},\quad {\frac {y_{i}-{\bar {y}}}{s_{y}}}$, wobei $s_{x}$ und $s_{y}$ die empirischen Standardabweichungen von $X\;$ und $Y\;$ bezeichnen.

Die Gleichung der gemeinsamen Variation verändert sich dadurch zu:

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-{\bar {x}})}{s_{x}}}\cdot {\frac {(y_{i}-{\bar {y}})}{s_{y}}}$

Diese Produktsumme wird abschließend durch die Anzahl der Beobachtungen dividiert, um deren Einfluss zu eliminieren.

Damit ergibt sich der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient, der es erlaubt, die Stärke des linearen Zusammenhanges zwischen zwei metrisch skalierten Merkmalen $X\;$ und $Y\;$ zu messen:

$r_{xy}=r_{yx}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\limits (x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})}{n\cdot s_{x}\cdot s_{y}}}={\frac {s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}}$

Wie die Vereinfachung der obigen Gleichung zeigt, entspricht der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient der gemeinsamen Streuung der beiden Merkmale $X\;$ und $Y\;$ (= empirische Kovarianz) normiert auf das Produkt der Einzelstreuung (= empirische Standardabweichung) der Merkmale.

Der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient lässt sich auch in der folgenden Form darstellen

$r_{xy}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\limits (x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\limits (x_{i}-{\bar {x}})^{2}\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits (y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}$

$r_{xy}={\frac {n\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}\cdot y_{i}-\sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits y_{i}}{\sqrt {\left[n\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits {x_{i}}^{2}-{\left(\sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}\right)}^{2}\right]\cdot \left[n\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits {y_{i}}^{2}-{\left(\sum _{i=1}^{n}\limits y_{i}\right)}^{2}\right]}}}$

Korrelation oder linearer Zusammenhang

Man unterscheidet grob folgenden Typen von Korrelationen:

• Perfekte Korrelation $(|r_{xy}|=1)$
• Starke Korrelation $(|r_{xy}|>0,5)$
• Schwache Korrelation $(|r_{xy}|<0,5)$
• Keine Korrelation $(r_{xy}=0)$ (die entspricht "im Allgemeinen" einer kreisähnlichen Form der Punktwolke).

Zusatzinformationen

Interpretation der Werte

• Der Korrelationskoeffizient nimmt nur Werte zwischen $-1$ und $+1$ an: $-1\leq r_{xy}\leq +1$
• Das Vorzeichen des Korrelationskoeffizient gibt Auskunft über die Richtung des Zusammenhanges
  • "$+$" entspricht einer positiven Korrelation (Proportionalität in der Streuung)
  • "$-$" entspricht einer negativen Korrelation (umgekehrte Proportionalität in der Streuung)
• Liegen alle Beobachtungswerte auf einer Geraden, so ist der Betrag des Korrelationskoeffizient 1 (also $|{\mbox{Koeff}}|=1$). Je mehr sich der Betrag des Korrelationskoeffizient dem Wert $1$ nähert, desto ausgeprägter ist ein linearer Zusammenhang zwischen den Merkmalen $X\;$ und $Y\;$ (analog umgekehrt).
• Ein Korrelationskoeffizient von $0$ bedeutet demgegenüber nur, dass kein linearer Zusammenhang zwischen den Merkmalen $X\;$ und $Y\;$ existiert. Es ist aber durchaus möglich, das zwischen beiden Merkmalen ein ausgeprägter nichtlinearer Zusammenhang besteht.
• Die Richtung der Beeinflussung hat keinen Einfluss auf den Wert des Korrelationskoeffizienten: $r_{xy}=r_{yx}$

Unabhängigkeit

Sind die Merkmale $X\;$ und $Y\;$ voneinander unabhängig, nimmt der Korrelationskoeffizient den Wert $0$ an.

Beispiele

Jahresgewinn und Jahresmiete

An $n=15$ Unternehmen wurden die Merkmale $Y\;$ - Jahresgewinn (in Mio. €) und $X\;$ - Jahresmiete für die EDV-Anlage (in 1000 €) beobachtet, deren Merkmalswerte in der folgenden Tabelle enthalten sind und in dem nachstehenden Scatterplot grafisch veranschaulicht werden.

Unternehmen	Jahresgewinn in Mio. €	Jahresmiete in 1000 €
$i$	$y_{i}$	$x_{i}$
1	10	30
2	15	30
3	15	100
4	20	50
5	20	100
6	25	80
7	30	50
8	30	100
9	30	250
10	35	180
11	35	330
12	40	200
13	45	400
14	50	500
15	50	600

Aus den Beobachtungswerten ergeben sich folgende Ergebnisse:

${\overline {y}}=30,$	$\sum _{i=1}^{15}\limits (y_{i}-{\overline {y}})^{2}=2250$
${\overline {x}}=200,$	$\sum _{i=1}^{15}\limits (x_{i}-{\overline {x}})^{2}=457000$

$\sum _{i=1}^{15}\limits (x_{i}-{\overline {x}})\cdot (y_{i}-{\overline {y}})=28100$

$r_{xy}={\frac {28100}{\sqrt {457000\cdot 2250}}}=0,8763$

Der Korrelationskoeffizient beträgt für dieses Beispiel 0,8763. Er weist damit auf einen starken linearen Zusammenhang hin.

Mordrate und Bevölkerungsgröße

In den U.S.A. wurden 1985 verschiedene Kriminalitätsraten für 50 Bundesstaaten ermittelt, darunter auch die "Mordrate" und die jeweilige "Bevölkerungsgröße".

Der Zusammenhang zwischen der Mordrate und der Größe der Bevölkerung kann grafisch in einem Scatterplot sichtbar gemacht werden:

Summe der Abweichungsprodukte zwischen "Bevölkerungsgröße" und "Mordrate":

$\sum (x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})=260121,05$

Summe der quadratischen Abweichungen bei "Bevölkerungsgröße":

$\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}=1259033421,62$

Summe der quadratischen Abweichungen bei "Mordrate":

$\sum (y_{i}-{\bar {y}})^{2}=725,54$

Der Korrelationskoeffizient ergibt sich damit als:

$r={\frac {260121,05}{\sqrt {1259033421,62\cdot 725,54}}}=0,27$

Der Korrelationskoeffizient von 0,27 weist auf einen nur geringen positiven linearen Zusammenhang hin.