Verteilung des Stichprobenanteilswertes/Beispiel: Urne

Beispiele

Urne

Aus einer Urne mit $N$ Kugeln, unter denen ein Anteil $\pi$ roter Kugeln ist, werden Stichproben im Umfang $n$ ohne Zurücklegen gezogen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten, in den Stichproben Anteilswerte roter Kugeln zwischen $p_{1}$ und $p_{2}$ zu finden.

Grundgesamtheit vom Umfang N=5

Aus einer Grundgesamtheit mit dem Umfang $N=5$ und $\pi =0,4$ wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang $n=3$ entnommen.

Die Zufallsvariable $X\;$ als Summe der 3 Stichprobenvariablen beinhaltet die Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe und die Zufallsvariable ${\widehat {\pi }}={\frac {X}{n}}$ den Anteil der roten Kugeln in der Stichprobe.

• Welcher Verteilung genügt die Anzahl bzw. der Anteil der roten Kugeln in der Stichprobe?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe Anteilswerte zwischen ${\frac {1}{3}}$ und ${\frac {2}{3}}$ zu finden ?

Da die Grundgesamtheit endlich ist und bei einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe die Elemente ohne Zurücklegen entnommen werden, ist die Stichprobenfunktion $X\;$ hypergeometrisch verteilt:

$X\sim H(N;M;n)=H(5;2;3)\;$, wobei $M=0,4\cdot 5=2$ ist.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist $P({\frac {1}{3}}\leq {\widehat {\pi }}\leq {\frac {2}{3}})$.

Wegen $X=n\cdot {\widehat {\pi }}$ und somit $x_{1}=3\cdot {\frac {1}{3}}=1$ und $x_{2}=3\cdot {\frac {2}{3}}=2$ entspricht dies der Wahrscheinlichkeit $P(1\leq X\leq 2)$.

$P(1\leq X\leq 2)=f(1)+f(2)=0,6+0,3=0,9$.

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Grundgesamtheit vom Umfang N=1000

Aus einer Grundgesamtheit mit dem Umfang $N=1000$ und $\pi =0,2$ wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang $n=4$ entnommen.

Die Zufallsvariable $X\;$ als Summe der 4 Stichprobenvariablen beinhaltet die Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe und die Zufallsvariable ${\widehat {\pi }}={\frac {X}{n}}$ den Anteil der roten Kugeln in der Stichprobe.

• Welcher Verteilung genügt die Anzahl bzw. der Anteil der roten Kugeln in der Stichprobe?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe Anteilswerte zwischen 0,25 und 0,75 zu finden?

Da eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe gezogen wird und die Grundgesamtheit endlich ist, ist die Zufallsvariable hypergeometrisch verteilt: $X\sim H(1000;200;4)\;$.

Da aber zum einen der Umfang der Grundgesamtheit sehr groß und zum anderen der Auswahlsatz ${\frac {n}{N}}=0,004<0,05$ ist, kann die Endlichkeit der Grundgesamtheit vernachlässigt und approximativ die Binomialverteilung mit $\pi ={\frac {M}{N}}=0,2$ verwendet werden, so dass gilt: $X\approx B(4;0,2)$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist $P(0,25\leq {\widehat {\pi }}\leq 0,75)$.

Wegen $X=n\cdot {\widehat {\pi }}$ und somit $x_{1}=4\cdot 0,25=1$ und $x_{2}=4\cdot 0,75=3$ entspricht dies der Wahrscheinlichkeit $P(1\leq X\leq 3)$.

$P(1\leq X\leq 3)=F_{B}(3)-F_{B}(0)=0,9984-0,4096=0,5888$

$F_{B}(3)$ und $F_{B}(0)$ findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung $B(4;0,2)$.

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Grundgesamtheit vom Umfang N=2500

Aus einer Grundgesamtheit mit dem Umfang $N=2500$ und $\pi =0,2$ wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang $n=100$ entnommen.

Die Zufallsvariable $X\;$ als Summe der 100 Stichprobenvariablen beinhaltet die Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe und die Zufallsvariable ${\widehat {\pi }}={\frac {X}{n}}$ den Anteil der roten Kugeln in der Stichprobe.

• Welcher Verteilung genügt die Anzahl bzw. der Anteil der roten Kugeln in der Stichprobe?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe Anteilswerte zwischen 0,14 und 0,3 zu finden ?

Da die Grundgesamtheit endlich ist und eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe gezogen wird, ist die Zufallsvariable $X$ hypergeometrisch verteilt: $X\sim H(2500;500;100)\;$.

Da der Stichprobenumfang $n=100$ groß ist und die Kriterien

$n\cdot {\frac {M}{N}}=100\cdot 0,2=20\geq 5$

$n\cdot (1-{\frac {M}{N}})=80\geq 5$ und

${\frac {n}{N}}=0,04<0,05$

erfüllt sind, kann approximativ die Normalverteilung verwendet werden.

Es sind:

$E\left[{\widehat {\pi }}\right]=\pi =0,2$

$Var({\widehat {\pi }})={\frac {\pi \cdot (1-\pi )}{n}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}=0,001537$

$\sigma ({\widehat {\pi }})=0,039\approx 0,04$.

Somit wird die hypergeometrische Verteilung durch die $N(0,2;0,04)$ approximiert.

Dabei wird zur Vereinfachung auf die Stetigkeitskorrektur verzichtet.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist $P(0,14\leq {\widehat {\pi }}\leq 0,3)$:

Wegen $z_{2}={\frac {0,3-0,2}{0,04}}=2,5$ und $z_{1}={\frac {0,14-0,2}{0,04}}=-1,5$ gilt:

$P(0,14\leq {\widehat {\pi }}\leq 0,3)=\Phi (2,5)-\Phi (-1,5)=\Phi (2,5)-(1-\Phi (1,5))=0,99379-(1-0,933193)=0,9269$.

$\Phi (2,5)$ und $\Phi (1,5)$ findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

<R output="display"> pdf(rpdf, width=7, height=7) layout(1:2) curve(from=-10, to=10, dnorm(x, mean=0, sd=1), col="black", ylim=c(0,10), lty=1, lwd=2, xlim= c(-10, 10), xlab="", ylab="", xaxt="n", yaxt="n") curve(from=-10, to=10, dnorm(x, mean=0, sd=0.04), col="blue",lty=1, lwd=2, font.lab=2, bty="l",, add=T) axis(side=1, at=c(-10, 0, 10)) axis(side=2, at=c(0, 5, 10), las=1) curve(from=-10, to=10, pnorm(x, mean=0, sd=1), col="black", ylim=c(0,1), lty=1, lwd=2, xlim= c(-10, 10), xlab="", ylab="", xaxt="n", yaxt="n") curve(from=-10, to=10, pnorm(x, mean=0, sd=0.04), col="red",lty=1, lwd=2, font.lab=2, bty="l",, add=T) axis(side=1, at=c(-10, 0, 10)) axis(side=2, at=c(0, 0.5, 1), las=1) </R>