Kombinatorik

Grundbegriffe

Kombinatorik

Die Kombinatorik (Kombinationslehre) untersucht die möglichen Arten der Anordnung von endlich vielen Dingen (Elementen) und deren Zusammenfassung zu Gruppen (Komplexionen) sowie die Bestimmung ihrer Anzahl.

Verschiedene Zusammenstellungsmöglichkeiten

Zusammenstellungen können sich zum einen dadurch unterscheiden, ob sie alle Elemente genau einmal enthalten oder ob in ihnen bestimmte Elemente mehrmals und andere Elemente gar nicht auftreten.

Zum anderen ist festzulegen, ob Zusammenstellungen, die sich nur durch die Anordnung ihrer Elemente unterscheiden, als identisch gelten sollen oder nicht.

Beispiele mit drei Elementen $a$, $b$ und $c$:

• Zusammenstellung, die jedes Element genau einmal enthält: $bca$
• Zusammenstellung, die Elemente mehrmals enthält und einige Elemente gar nicht: $bb$
• Zwei Zusammenstellungen, die sich nur durch die Anordnung ihrer Elemente unterscheiden: $ab$ und $ba$

Es werden davon ausgehend drei grundsätzliche Arten von Zusammenstellungen betrachtet:

• Permutationen
• Variationen
• Kombinationen

Beispiele

Anwendung

Mit Hilfe der Kombinatorik können Fragen wie

• "Wieviele Möglichkeiten gibt es, 5 verschiedene Ziffern anzuordnen?",
• "Auf wieviel verschiedene Arten können aus 30 Wörtern 10 verschiedene Wörter ausgewählt werden?" und
• "Wieviel Möglichkeiten gibt es, einen Lottoschein auszufüllen?"

beantwortet werden.

Diese Antworten ermöglichen z.B. die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Lottogewinns.

Das wichtigste Anwendungsgebiet der Kombinatorik ist daher die Wahrscheinlichkeitsrechnung, die die Ergebnisse der Kombinatorik verwendet.