Kendall'scher Rangkorrelationskoeffizient

Grundbegriffe

Konkordante oder gleichsinnige Merkmalspaare

Als konkordant (oder gleichsinnig) werden Merkmalspaare bezeichnet, die eine gleiche Ordnungsrelation aufweisen, d.h. beide Variablen weisen einen niedrigen oder einen hohen Merkmalswert auf.

Diskordante oder gegensinnige Merkmalspaare

Als diskordant (oder gegensinnig) werden jene Paare bezeichnet, die eine entgegengesetzte Ordnungsrelation aufweisen, d.h. eine der Variablen weist einen niedrigen und die andere Variable einen hohen Merkmalswert auf.

Bindung

Desweiteren können Merkmalspaare existieren, die gleich bezüglich jeweils eines Merkmalswertes oder beider Merkmalswerte sind. Dieser Umstand wird als Bindung bezeichnet.

Kendall'scher Rangkorrelationskoeffizient

Der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient basiert auf dem Vergleich der Ordnungsrelation für alle möglichen Paare von beobachteten Merkmalswerten zweier Merkmale.

Die Anzahl der konkordanten Paare $P$ und der diskordanten Paare $Q$ lässt sich nach folgendem Schema ermitteln:

• Die Merkmalspaare $R(x_{i})$ und $R(y_{i})$ werden nach $R(x_{i})$ aufsteigend sortiert.
• Die Anzahl der auf $R(y_{i})$ nachfolgenden Rangzahlen, die größer sind als $R(y_{i})$ wird mit $p_{i}$ bezeichnet.
• Die Anzahl der auf $R(y_{i})$ nachfolgenden Rangzahlen, die kleiner sind als $R(y_{i})$ wird mit $q_{i}$ bezeichnet.

Unter Verwendung der Anzahl der konkordanten und diskordanten Paare lässt sich der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient berechnen:

$\tau ={\frac {P-Q}{P+Q}}{\mbox{ , mit }}Q=\sum _{i}q_{i},\;P=\sum _{i}p_{i}$.

Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Kendall'schen Rangkorrelationskoeffizienten unter Verwendung der Gesamtanzahl aller zu vergleichenden Ränge lautet wie folgt:

$\tau =1-{\frac {4\cdot Q}{n\cdot (n-1)}}={\frac {4\cdot P}{n\cdot (n-1)}}-1$

Zusatzinformationen

Die Gesamtanzahl aller zu vergleichenden Ränge ergibt sich als:

${\frac {n\cdot (n-1)}{2}}=Q+P$.

Der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient nimmt nur Werte zwischen $-1$ und $+1$ an:

$-1\leq \tau \leq 1$.

Beispiele

Angestellte

10 Angestellte wurden bezüglich ihrer organisatorischen Fähigkeiten $(X)\;$ und ihrer Arbeitssorgfalt $(Y)\;$ geprüft und für jedes der Merkmale in eine Rangordnung gebracht.

Um Aussagen über den Zusammenhang zwischen beiden Merkmalen treffen zu können, wird sowohl der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient als auch der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient berechnet.

Angestellter $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$R(X)$	7	3	9	10	1	5	4	6	2	8
$R(Y)$	3	9	10	8	7	1	5	4	2	6
${d_{i}}^{2}$	16	36	1	4	36	16	1	4	0	4

Angestellter $i$	5	9	2	7	6	8	1	10	3	4
$R(X)$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$R(Y)$	7	2	9	5	1	4	3	6	10	8
$q$ (kleiner)	6	1	6	3	0	1	0	0	1	0
$p$ (größer)	3	7	1	3	5	3	3	2	0	0

• Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient

$r_{s}=1-{\frac {6\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits d_{i}^{2}}{n\cdot (n^{2}-1)}}$

$r_{s}=1-6\cdot {\frac {118}{10\cdot 99}}=0,2848$

• Kendall'scher Rangkorrelationskoeffizient

$Q=18,\quad P=27$

$Q+P={\frac {n\cdot (n-1)}{2}}=10\cdot {\frac {9}{2}}=45$

$\tau ={\frac {27-18}{27+18}}={\frac {9}{45}}=0,200$

Leichtathletik

Gegeben sei die Platzierung von 20 Sportlern in den beiden Leichtathletik-Disziplinen 100 Meter-Lauf und 200 Meter-Lauf:

Sportler $(i)$	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
100 Meter $(x)$	5	7	3	13	2	15	19	14	12	1	6	20	17	4	18	11	10	16	9	8
200 Meter $(y)$	3	9	1	10	7	5	13	14	17	4	11	16	18	12	20	2	15	19	6	8

Im Folgenden soll der statistische Zusammenhang zwischen der Platzierung der Sportler in den einzelnen Disziplinen ermittelt werden.

Da es sich um ordinalskalierte Daten handelt, werden der Spearman'sche und der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient verwendet.

Die Berechnung beider Koeffizienten liefert die folgenden Ergebnisse:

Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient: 0.6617
Kendall'scher Rangkorrelationskoeffizient: 0.4526
konkordante Paare: 138
diskordante Paare: 52
gleich nur bzgl. x: 0
gleich nur bzgl. y: 0
gleich bzgl. x und y: 0

Der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient errechnet sich nach der Formel:

$r_{s}=1-{\frac {6\cdot \sum _{i=1}^{n}{d_{i}}^{2}}{n\cdot (n^{2}-1)}}$

Die notwendigen Informationen lassen sich aus der Tabelle entnehmen:

$d$ ergibt sich als Differenz zwischen den beiden Variablen $x$ und $y$.

$n$ ist die Anzahl der platzierten Sportler (= 20).

Die Berechnung des Spearman'schen Rangkorrelationskoeffizienten ergibt einen Wert von 0,6617, was einen positiven Zusammenhang zwischen den Platzierungen in beiden Disziplinen impliziert.

Gute Sportler über 100 Meter erreichen also auch über 200 Meter gute Platzierungen.

Für die Berechnung des Kendall'schen Rangkorrelationskoeffizienten müssen die Paare der konkordanten und diskordanten Paare ermittelt werden.

Zwei Paare heißen konkordant, wenn bezüglich beider Merkmale die gleiche Ordnungsrelation vorliegt und diskordant, wenn eine verschiedene Ordnungsrelation vorliegt.

Für das Paar Sportler 1 und Sportler 2 liegt beispielsweise Konkordanz vor: Sportler 1 erreicht sowohl im 100 Meter-Lauf als auch im 200 Meter-Lauf eine bessere Platzierung.

Anders dagegen beim Vergleich von Sportler 1 mit Sportler 5: Sportler 1 erreicht über 100 Meter eine schlechtere, über 200 Meter aber eine bessere Platzierung - es liegt eine Diskordanz vor.

Insgesamt ergeben sich für dieses Beispiel $0,5\cdot n\cdot (n-1)=190$ verschiedene Paare, davon sind 138 Paare konkordant, 52 Paare diskordant.

Mit Kenntnis dieser Zahlen lässt sich der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient errechnen:

$\tau ={\frac {P-Q}{P+Q}},\ {\mbox{mit}}\ Q=\sum _{i}q_{i}\ {\mbox{und}}\ P=\sum _{i}p_{i}$

Dabei stellt $P$ die Anzahl der konkordanten Paare und $Q$ die Anzahl der diskordanten Paare dar.

Der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient beträgt für das obige Beispiel $0,4526$, was auch hier auf einen positiven Zusammenhang hinweist.