Verteilung des Stichprobenanteilswertes/Beispiel: Haushaltsgröße

Beispiele

Haushaltsgröße

Laut Angaben des Statistischen Bundesamtes der Bundesrepublik Deutschland gab es im April 1996 in Deutschland 37,3 Millionen Privathaushalte, von denen rund 35% Einpersonenhaushalte waren.

Stichprobe vom Umfang n=10

Aus dieser Grundgesamtheit wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang $n=10$ entnommen.

• Welcher Verteilung genügt die Anzahl bzw. der Anteil der Einpersonenhaushalte in der Stichprobe?
• Geben Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung für diese Verteilung an.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil der Einpersonenhaushalte in der Stichprobe größer als 0,2, jedoch kleiner gleich 0,5 ist?

Es liegt eine endliche Grundgesamtheit von $N=37,3$ Mio. Privathaushalten vor, von denen $M=13,055$ Mio. Einpersonenhaushalte sind.

Bei zehnmaliger Ziehung von Elementen aus der Grundgesamtheit erhält man 10 Zufallsvariablen (Stichprobenvariablen) $X_{i}\;(i=1,...,10)$, die den Wert $X_{i}=1$ annehmen, wenn ein Einpersonenhaushalt auftritt, und den Wert $X_{i}=0$ annehmen, wenn ein Mehrpersonenhaushalt auftritt.

Die Zufallsvariable $X\;$ als Summe der 10 Stichprobenvariablen beinhaltet die Anzahl der Einpersonenhaushalte in der Stichprobe und die Zufallsvariable ${\widehat {\pi }}={\frac {X}{n}}$ den Anteil der Einpersonenhaushalte in der Stichprobe.

Da bei einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe die Elemente ohne Zurücklegen entnommen werden, ist die Stichprobenfunktion $X\;$ hypergeometrisch verteilt:

$X\sim H(N;M;n)=H(37,3{\mbox{ Mio. }};\;13,055{\mbox{ Mio. }};\;10)$.

Die Stichprobenfunktion ${\widehat {\pi }}$ weist die gleiche Wahrscheinlichkeitsfunktion wie $X=n\cdot {\widehat {\pi }}$ auf.

Da zum einen der Umfang der Grundgesamtheit sehr groß und zum anderen der Auswahlsatz ${\frac {n}{N}}={\frac {10}{37,3{\mbox{ Mio.}}}}<0,05$ ist, kann die Endlichkeit der Grundgesamtheit vernachlässigt und approximativ die Binomialverteilung mit $\pi ={\frac {M}{N}}=0,35$ verwendet werden, so dass gilt: $X\approx B(n;\;\pi )=B(10;0,35)$.

Für ${\widehat {\pi }}$ gilt die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung:

$E[X]=10\cdot 0,35=3,5$	$Var(X)=10\cdot 0,35\cdot 0,65=2,275$	$\,\sigma (X)=1,5083$
$E\left[{\widehat {\pi }}\right]=0,35$	$Var({\widehat {\pi }})={\frac {0,35\cdot 0,65}{10}}=0,02275$	$\sigma ({\widehat {\pi }})=0,1508$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist $P(0,2<{\widehat {\pi }}<0,5)$.

Wegen $X=n\cdot {\widehat {\pi }}$ und somit $x_{1}=10\cdot 0,2=2$ und $x_{2}=10\cdot 0,5=5$, entspricht dies der Wahrscheinlichkeit $P(2<X<5)$.

$P(2<X<5)=P(X\leq 4)-P(X\leq 2)=F_{B}(4)-F_{B}(2)=0,7515-0,2616=0,4899$

$F_{B}(4)$ und $F_{B}(2)$ findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung $B(10;0,35)$.

Stichprobe vom Umfang n=2000

Aus der angegebenen Grundgesamtheit wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang $n=2000$ entnommen.

• Welcher Verteilung genügt die Anzahl bzw. der Anteil der Einpersonenhaushalte in der Stichprobe?
• Geben Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung für diese Verteilung an.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Einpersonenhaushalte in der Stichprobe größer gleich 700, aber kleiner gleich 725 ist, d.h. $700\leq X\leq 725$?

Die Stichprobenfunktionen $X\;$ und ${\widehat {\pi }}$ sind wie bei der 1. Problemstellung definiert.

Da die Grundgesamtheit wie vorher sehr groß und der Auswahlsatz sehr klein ist, spielt es keine Rolle, ob die Elemente ohne Zurücklegen oder mit Zurücklegen entnommen werden, so dass approximativ von einer Binomialverteilung ausgegangen werden kann.

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung: sind:

$E[X]=2000\cdot 0,35=700$	$Var(X)=2000\cdot 0,35\cdot 0,65=455$	$\,\sigma (X)=21,33$
$E\left[{\widehat {\pi }}\right]=0,35$	$Var({\widehat {\pi }})={\frac {0,35\cdot 0,65}{2000}}=0,000114$	$\sigma ({\widehat {\pi }})=0,01067$

Für eine $B(2000;0,35)$ liegen keine Tabellen zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten vor. Per Computer wurde ermittelt:

$P(700\leq X\leq 725)=P(X\leq 725)-P(X<700)=F_{B}(725)-F_{B}(699)=0,8839-0,4916=0,3923$

Da der Stichprobenumfang $n=2000$ jedoch sehr groß ist und die Kriterien $n\cdot \pi =2000\cdot 0,35=700\geq 5$ und $n\cdot (1-\pi )=2000\cdot 0,65=1300\geq 5$ erfüllt sind, kann statt der Binomialverteilung approximativ die Normalverteilung verwendet werden:

$X\approx N(700;21,33)\,,\qquad {\widehat {\pi }}\approx N(0,35;0,01067)$

Mit

$z_{1}={\frac {700-0,5-700}{21,33}}=-0,02344$

$z_{2}={\frac {725+0,5-700}{21,33}}=1,1955$

folgt

$P(700\leq X\leq 725)\approx \Phi (1,1955)-\Phi (-0,02344)=\Phi (1,1955)-(1-\Phi (0,02344))$

$=0,884054-(1-0,509351)=0,3934$

Im Vergleich zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit über die exakte Verteilung ergibt sich durch die Approximation über die Normalverteilung ein vernachlässigbarer Fehler.