Kendall'scher Rangkorrelationskoeffizient

Grundbegriffe

Konkordante oder gleichsinnige Merkmalspaare

Als konkordant (oder gleichsinnig) werden Merkmalspaare bezeichnet, die eine gleiche Ordnungsrelation aufweisen, d.h. beide Variablen weisen einen niedrigen oder einen hohen Merkmalswert auf.

Diskordante oder gegensinnige Merkmalspaare

Als diskordant (oder gegensinnig) werden jene Paare bezeichnet, die eine entgegengesetzte Ordnungsrelation aufweisen, d.h. eine der Variablen weist einen niedrigen und die andere Variable einen hohen Merkmalswert auf.

Bindung

Desweiteren können Merkmalspaare existieren, die gleich bezüglich jeweils eines Merkmalswertes oder beider Merkmalswerte sind. Dieser Umstand wird als Bindung bezeichnet.

Kendall'scher Rangkorrelationskoeffizient

Der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient basiert auf dem Vergleich der Ordnungsrelation für alle möglichen Paare von beobachteten Merkmalswerten zweier Merkmale.

Die Anzahl der konkordanten Paare $P$ und der diskordanten Paare $Q$ lässt sich nach folgendem Schema ermitteln:

• Die Merkmalspaare $R(x_{i})$ und $R(y_{i})$ werden nach $R(x_{i})$ aufsteigend sortiert.
• Die Anzahl der auf $R(y_{i})$ nachfolgenden Rangzahlen, die größer sind als $R(y_{i})$ wird mit $p_{i}$ bezeichnet.
• Die Anzahl der auf $R(y_{i})$ nachfolgenden Rangzahlen, die kleiner sind als $R(y_{i})$ wird mit $q_{i}$ bezeichnet.

Unter Verwendung der Anzahl der konkordanten und diskordanten Paare lässt sich der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient berechnen:

$\tau ={\frac {P-Q}{P+Q}}{\mbox{ , mit }}Q=\sum _{i}q_{i},\;P=\sum _{i}p_{i}$.

Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Kendall'schen Rangkorrelationskoeffizienten unter Verwendung der Gesamtanzahl aller zu vergleichenden Ränge lautet wie folgt:

$\tau =1-{\frac {4\cdot Q}{n\cdot (n-1)}}={\frac {4\cdot P}{n\cdot (n-1)}}-1$

Zusatzinformationen

Die Gesamtanzahl aller zu vergleichenden Ränge ergibt sich als:

${\frac {n\cdot (n-1)}{2}}=Q+P$.

Der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient nimmt nur Werte zwischen $-1$ und $+1$ an:

$-1\leq \tau \leq 1$.