Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient

Grundbegriffe

Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient

Ausgangspunkt für die Messung von Zusammenhängen bei zwei ordinalskalierten Merkmalen $X\;$ und $Y\;$ bilden die Rangzahlen

$R(x_{i}),R(y_{i}),\quad i=1,\ldots ,n$, die den Merkmalsausprägungen $x_{i}$ und $y_{j}$ entsprechend ihrer Rangordnung zugeordnet sind.

Für diese Rangzahlenpaare lässt sich der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient wie folgt berechnen:

$r_{s}=1-{\frac {6\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits [R(x_{i})-R(y_{i})]^{2}}{n\cdot (n^{2}-1)}}=1-{\frac {6\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits d_{i}^{2}}{n\cdot (n^{2}-1)}},\quad d_{i}=R(x_{i})-R(y_{i})$

• Der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient nimmt nur Werte zwischen $-1$ und $+1$ an:

$-1\leq r_{s}\leq 1$.

• Den Wert $+1$ genau dann, wenn sich die Ränge völlig gleichsinnig verhalten, d.h.

$\,R(x_{i})=R(y_{i})$ für alle $i$.

• Den Wert $-1$ genau dann, wenn sich die Ränge völlig gegensinnig verhalten, d.h.

$\,R(x_{i})=n+1-R(y_{i})$ für alle $i$.

Zusatzinformationen

Zusammenhang mit Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient

Der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient entspricht dem auf Rangzahlen angewandten Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizienten:

Es gilt:

$\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}\limits R(y_{i})={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

$\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\limits R(y_{i})^{2}={\frac {n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}}$

$\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})\cdot R(y_{i})={\frac {1}{2}}\cdot \left[\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})^{2}+\sum _{i=1}^{n}\limits R(y_{i})^{2}-\sum _{i=1}^{n}\limits (R(x_{i})-R(y_{i}))^{2}\right]$

Der Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizienten berechnet sich nach:

$r_{yx}={\frac {n\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}\cdot y_{i}-\sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits y_{i}}{\sqrt {\left[n\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}\right)^{2}\right]\cdot \left[n\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}\limits y_{i}\right)^{2}\right]}}}$

Werden anstelle der direkten Merkmalsausprägungen $x_{i}$ und $y_{i}$ die zugeordneten Rangzahlen $R(x_{i})$ und $R(y_{i})$ verwendet, lässt sich der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient ableiten:

$r_{s}={\frac {n\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})\cdot R(y_{i})-\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})\sum _{i=1}^{n}\limits R(y_{i})}{\sqrt {\left[n\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})\right)^{2}\right]\cdot \left[n\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits R(y_{i})^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}\limits R(y_{i})\right)^{2}\right]}}}$

$={\frac {n\cdot {\frac {1}{2}}\cdot 2{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}}-n\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits [R(x_{i})-R(y_{i})]^{2}-{\frac {n^{2}\cdot (n+1)^{2}}{4}}}{n\cdot {\frac {n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}}-{\frac {n^{2}\cdot (n+1)^{2}}{4}}}}$

$=1-{\frac {6\cdot \sum _{i=1}^{n}\limits [R(x_{i})-R(y_{i})]^{2}}{n\cdot (n+1)\cdot (n-1)}}$

Beispiele

Skisport

$X\;$- Platzierung des Sportlers in der Abfahrt

$Y\;$- Platzierung des Sportlers im Slalom

Besteht ein Zusammenhang zwischen der Platzierung in beiden Disziplinen?

Sportler $i$	1	2	3	4	5	6
Abfahrt $X\;$	2	1	3	4	5	6
Slalom $Y\;$	2	3	1	5	4	6
${d_{i}}^{2}$	0	4	4	1	1	0

$r=1-{\frac {6\cdot 10}{6\cdot (36-1)}}=0,7143$

Der Koeffizient weist auf einen starken Zusammenhang zwischen der Platzierung in beiden Disziplinen hin.