Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient

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Grundbegriffe

Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient

Ausgangspunkt für die Messung von Zusammenhängen bei zwei ordinalskalierten Merkmalen $X\;$ und $Y\;$ bilden die Rangzahlen

$R(x_i),R(y_i), \quad i=1,\ldots,n$, die den Merkmalsausprägungen $x_{i}$ und $y_{j}$ entsprechend ihrer Rangordnung zugeordnet sind.

Für diese Rangzahlenpaare lässt sich der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient wie folgt berechnen:

$r_s=1-\frac{6 \cdot\sum^n_{i=1}\limits [R(x_i)-R(y_i)]^2}{n\cdot(n^2-1)}= 1-\frac{6\cdot\sum^n_{i=1}\limits d_i^2}{n\cdot(n^2-1)},\quad d_i=R(x_i)-R(y_i)$

• Der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient nimmt nur Werte zwischen $-1$ und $+1$ an:

$-1\leq r_{s}\leq1$.

• Den Wert $+1$ genau dann, wenn sich die Ränge völlig gleichsinnig verhalten, d.h.

$\,R(x_{i})=R(y_{i})$ für alle $i$.

• Den Wert $-1$ genau dann, wenn sich die Ränge völlig gegensinnig verhalten, d.h.

$\,R(x_{i})=n+1-R(y_{i})$ für alle $i$.

Zusatzinformationen

Zusammenhang mit Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient

Der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient entspricht dem auf Rangzahlen angewandten Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizienten:

Es gilt:

$\sum_{i=1}^{n}\limits R(x_{i})=\sum_{i=1}^{n}\limits R(y_{i})=\frac{n\cdot(n+1)}{2}$

$\sum^n_{i=1}\limits R(x_i)^2=\sum^n_{i=1}\limits R(y_i)^2=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}$

$\sum_{i=1}^{n}\limits R(x_{i})\cdot R(y_{i})=\frac{1}{2}\cdot\left[ \sum_{i=1}^{n}\limits R(x_{i})^{2}+\sum_{i=1}^{n}\limits R(y_{i})^{2}-\sum_{i=1}^{n}\limits(R(x_{i})-R(y_{i}))^{2}\right]$

Der Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizienten berechnet sich nach:

$r_{yx}=\frac{n\cdot\sum_{i=1}^{n}\limits x_{i}\cdot y_{i}-\sum_{i=1}^{n}\limits x_{i}\cdot\sum_{i=1}^{n}\limits y_{i}}{\sqrt{\left[ n\cdot\sum_{i=1}^{n}\limits x_{i}^{2}-\left( \sum_{i=1}^{n}\limits x_{i}\right) ^{2}\right]\cdot \left[n\cdot\sum_{i=1}^{n}\limits y_{i}^{2}-\left( \sum_{i=1}^{n}\limits y_{i}\right)^{2}\right] }}$

Werden anstelle der direkten Merkmalsausprägungen $x_{i}$ und $y_{i}$ die zugeordneten Rangzahlen $R(x_{i})$ und $R(y_{i})$ verwendet, lässt sich der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient ableiten:

$r_s=\frac{n\cdot \sum^n_{i=1}\limits R(x_i)\cdot R(y_i) - \sum^n_{i=1}\limits R(x_i) \sum^n_{i=1}\limits R(y_i)}{\sqrt{\left[n\cdot \sum^n_{i=1}\limits R(x_i)^2 - \left(\sum^n_{i=1}\limits R(x_i) \right)^2\right]\cdot \left[n\cdot\sum^n_{i=1}\limits R(y_i)^2 - \left(\sum^n_{i=1}\limits R(y_i)\right)^2\right]}}$

$=\frac{n\cdot \frac{1}{2}\cdot 2 \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}-n\cdot \frac{1}{2}\cdot\sum^n_{i=1}\limits [R(x_i)-R(y_i)]^2 - \frac{n^2\cdot(n+1)^2}{4}} {n\cdot \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}-\frac{n^2\cdot(n+1)^2}{4}}$

$=1-\frac{6\cdot\sum_{i=1}^{n}\limits[R(x_{i})-R(y_{i})]^{2}}{n\cdot(n+1)\cdot(n-1)}$

Beispiele

Skisport

$X\;$- Platzierung des Sportlers in der Abfahrt

$Y\;$- Platzierung des Sportlers im Slalom

Besteht ein Zusammenhang zwischen der Platzierung in beiden Disziplinen?

Sportler $i$	1	2	3	4	5	6
Abfahrt $X\;$	2	1	3	4	5	6
Slalom $Y\;$	2	3	1	5	4	6
${d_{i}}^{2}$	0	4	4	1	1	0

$r= 1-\frac{6 \cdot 10} {6\cdot(36-1)}=0,7143$

Der Koeffizient weist auf einen starken Zusammenhang zwischen der Platzierung in beiden Disziplinen hin.