Stichprobenmittelwert/Beispiele

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Beispiele

Klausur

An der Klausur zu einer Lehrveranstaltung im Hauptstudium nehmen N= 7 Studenten teil und erreichen die nachstehenden Punktzahlen.

Tabelle 1:

Student A B C D E F G
Punktzahl 10 11 11 12 12 12 16

Für das Merkmal X =\; "Punktzahl der Klausur" resultiert in der Grundgesamtheit folgende Häufigkeitsverteilung.

Tabelle 2:

x\; h(x)\; f(x)=\frac{h(x)}{N} F(x)\;
10 1 1/7 1/7
11 2 2/7 3/7
12 3 3/7 6/7
16 1 1/7 7/7

mit \mu=12,\;\sigma^{2}=3,143 und \sigma=1,773.

Zufallsauswahl mit Zurücklegen

Aus der Grundgesamtheit werden n = 2 Klausuren mit Zurücklegen entnommen.

Die Tabelle 3 enthält alle möglichen Stichproben vom Umfang n = 2 mit Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge.

Tabelle 3:

1. Klausur 2. Klausur
10 11 11 12 12 12 16
10 10;10 10;11 10;11 10;12 10;12 10;12 10;16
11 11;10 11;11 11;11 11;12 11;12 11;12 11;16
11 11;10 11;11 11;11 11;12 11;12 11;12 11;16
12 12;10 12;11 12;11 12;12 12;12 12;12 12;16
12 12;10 12;11 12;11 12;12 12;12 12;12 12;16
12 12;10 12;11 12;11 12;12 12;12 12;12 12;16
16 16;10 16;11 16;11 16;12 16;12 16;12 16;16

Für jede Stichprobe wird das arithmetische Mittel bestimmt. Die Werte werden in Tabelle 4 aufgelistet.

Tabelle 4:

1. Klausur 2. Klausur
10 11 11 12 12 12 16
10 10 10,5 10,5 11 11 11 13
11 10,5 11 11 11,5 11,5 11,5 13,5
11 10,5 11 11 11,5 11,5 11,5 13,5
12 11 11,5 11,5 12 12 12 14
12 11 11,5 11,5 12 12 12 14
12 11 11,5 11,5 12 12 12 14
16 13 13,5 13,5 14 14 14 16

\bar{X} kann somit verschiedene Werte mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten annehmen.

Aus Tabelle 4 lässt sich die Verteilung von \bar{X} bestimmen (Spalte 1 und 2 der Tabelle 5).

Tabelle 5:

\bar{X} P(\bar{X}) \bar{X} - E\left[\bar{X}\right] \left(\bar{X} - E\left[\bar{X}\right]\right)^{2} \left(\bar{X} - E\left[\bar{X}\right]\right)^{2}\cdot P(\bar{x})
10 1/49 -2 4 4/49
10,5 4/49 -1,5 2,25 9/49
11 10/49 -1 1 10/49
11,5 12/49 -0,5 0,25 3/49
12 9/49 0 0 0
13 2/49 1 1 2/49
13,5 4/49 1,5 2,25 9/49
14 6/49 2 4 24/49
16 1/49 4 16 16/49

Berechnet man für diese Verteilung das arithmetische Mittel, d.h. den Erwartungswert von \bar{X} , so ergibt sich:

E\left[\bar{X}\right]=\frac{588}{49}=12.

Dies entspricht dem Erwartungswert der Zufallsvariablen X\; in der Grundgesamtheit: E\left[X\right]=12\;.

Für die Varianz von \bar{X} folgt entsprechend den Zwischenergebnissen in den Spalten 3 - 5 der Tabelle 5:

Var(\bar{X})=\sigma^{2}(\bar{X})=\frac{77}{49}=\frac{11}{7}=1,5714

Dieses Ergebnis entspricht der angegebenen Formel zur Berechnung von \sigma^{2}(\bar{X})

\sigma^{2}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}=\frac{\frac{22}{7}}{2}=\frac{11}{7}

Es ist deutlich erkennbar, dass die Varianz von \bar{X} kleiner ist als die Varianz von X\; in der Grundgesamtheit.

Zufallsauswahl ohne Zurücklegen

Aus der Grundgesamtheit werden n = 2 Klausuren ohne Zurücklegen entnommen.

Die Tabelle 6 zeigt alle möglichen Stichproben vom Umfang n = 2 ohne Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge.

Tabelle 6:

1. Klausur 2. Klausur
10 11 11 12 12 12 16
10 10;11 10;11 10;12 10;12 10;12 10;16
11 11;10 11;11 11;12 11;12 11;12 11;16
11 11;10 11;11 11;12 11;12 11;12 11;16
12 12;10 12;11 12;11 12;12 12;12 12;16
12 12;10 12;11 12;11 12;12 12;12 12;16
12 12;10 12;11 12;11 12;12 12;12 12;16
16 16;10 16;11 16;11 16;12 16;12 16;12

Für jede Stichprobe wird das arithmetische Mittel bestimmt. Die Werte werden in Tabelle 7 aufgelistet.

Tabelle 7:

1. Klausur 2. Klausur
10 11 11 12 12 12 16
10 10,5 10,5 11 11 11 13
11 10,5 11 11,5 11,5 11,5 13,5
11 10,5 11 11,5 11,5 11,5 13,5
12 11 11,5 11,5 12 12 14
12 11 11,5 11,5 12 12 14
12 11 11,5 11,5 12 12 14
16 13 13,5 13,5 14 14 14

Tabelle 8 enthält in den Spalten 1 und 2 die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenmittelwertes \bar{X}

Tabelle 8:

\bar{X} P(\bar{X}) \bar{X} - E\left[\bar{X}\right] \left(\bar{X} - E\left[\bar{X}\right]\right)^{2} \left(\bar{X} - E\left[\bar{X}\right]\right)^{2}\cdot P(\bar{x})
10,5 4/42 -1,5 2,25 9/42
11 8/42 -1 1 8/42
11,5 12/42 - 0,5 0,25 3/42
12 6/42 0 0 0
13 2/42 1 1 2/42
13,5 4/42 1,5 2,25 9/42
14 6/42 2 4 24/42

Der Erwartungswert E\left[\bar{X}\right] dieser Verteilung ergibt sich zu

E(\bar{X})=\frac{504}{42}=12

und entspricht somit dem Erwartungswert von X\; in der Grundgesamtheit.

Für die Varianz Var(\bar{X}) folgt:

Var(\bar{X})=\sigma^{2}(\bar{X})=\frac{55}{42}=1,3095.

Dieses Ergebnis entspricht der angegebenen Formel zur Berechnung von \sigma^{2}(\bar{X}):

Var(\bar{X})=\sigma^{2}(\bar{X}) =\cfrac{\sigma^{2}}{n}\cdot\cfrac{N-n}{N-1}
=\cfrac{\frac{22}{7}}{2}\cdot\cfrac{7-2}{7-1}=\cfrac{22\cdot5}{7\cdot2\cdot6}=\cfrac{55}{42}