Maximum-Likelihood-Methode/Beispiele

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Beispiele

Autounfälle

In einem Zeitraum von 50 Tagen wird die Anzahl der Autounfälle pro Tag in einem Ort erfasst. Das Ergebnis wird in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Anzahl der Autounfälle pro Tag Anzahl der Tage
0 21
1 18
2 7
3 3
4 1

Der Stichprobe liegt ein Zufallsexperiment zugrunde, bei dem die Ereignisse (Autounfälle) zufällig und unabhängig voneinander in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebenen Umfangs (Tag) auftreten können.

Die Zufallsvariable X\; bezeichne die Anzahl der Autounfälle pro Tag und ist Poisson-verteilt: X\sim PO(\lambda)\;.

Der Parameter \lambda ist unbekannt und soll mittels der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden.

Für die Likelihood-Funktion der realisierten Stichprobe (x_{1},\ldots,x_{50}) folgt:

L\left(\lambda|x_{1},\ldots,x_{50}\right)=\frac{\lambda^{x_{1}+\dots+x_{50}}}{x_{1}!\cdot\ldots\cdot
x_{50}!}\cdot \exp{\left(-50\lambda\right)}=\frac{\lambda^{45}}{0!\cdot 0!\cdot\dots\cdot3!\cdot4!}\cdot \exp{\left(-50\lambda\right)}

Für die Log-Likelihood-Funktion ergibt sich:

\ln L(\lambda|x_{1},\ldots,x_{50})=45\ln\lambda-\left[\ln\left(0!\right)+\ln\left(0!\right)+\ldots+\log\left(3!\right)+\ln\left(4!\right)\right]-50\lambda

Differenzieren nach \lambda und Nullsetzen führt zu

\frac{\partial\ln L}{\partial\lambda}=\frac{45}{\lambda}-50

\frac{45}{\widehat{\lambda}}-50=0

und damit

\widehat{\lambda}=\frac{45}{50}=0.9=\bar{x}

Die hinreichende Bedingung für ein Maximum an der Stelle \lambda=\widehat{\lambda} ist erfüllt, da

\frac{\partial^{2}\ln L}{\partial\lambda^{2}}=-\frac{1}{\lambda^{2}}\cdot 45<0

ist.

Landeabstände

Herr Businessman hat während einer Dienstreise längeren Aufenthalt auf einem Flughafen.

Um sich die Zeit zu vertreiben, stoppt er die Zeit zwischen zwei landenden Flugzeugen auf derselben Rollbahn.

Er notiert folgende Stichprobenwerte (in Minuten):

3, 6, 6, 4, 8, 2, 4, 5, 9, 3.

Die Zufallsvariable X\; bezeichne das Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Landungen und wird als exponentialverteilt mit dem unbekannten Parameter \lambda>0 angenommen.

Unter Verwendung der Maximum-Likelihood-Methode schätzt Herr Businessman diesen Parameter. Die Likelihood-Funktion für die realisierte Stichprobe (x_{1},\ldots,x_{10}) ist gegeben mit

\,L(\lambda| 3,6,6,4,8,2,4,5,9,3) =\lambda e^{-3 \lambda} \cdot\lambda e^{-6 \lambda} \cdot\lambda e^{-6 \lambda}\cdot\lambda e^{-4 \lambda}\cdot\lambda e^{-8 \lambda} \cdot\lambda e^{-2 \lambda} \cdot\lambda e^{-4\lambda} \cdot\lambda e^{-5 \lambda} \cdot\lambda e^{-9 \lambda} \cdot\lambda
e^{-3 \lambda}
 \,=  \lambda^{10}\cdot e^{-50 \lambda}

und die Log-Likelihood-Funktion mit

\ln L(\lambda)=10\ln\lambda-50\lambda\;

Ableiten nach \lambda und Nullsetzen führt zu

\frac{\partial\ln L(\lambda)}{\partial\lambda}=\frac{10}{\lambda}-50=0

\frac{10}{\widehat{\lambda}}-50=0

Für die ML-Schätzung \widehat{\lambda} für \lambda der exponentialverteilten Grundgesamtheit resultiert:

 \widehat{\lambda}=\frac{10}{50}=0.2=\frac{1}{\bar{x}}

Die zweite Ableitung nach \lambda ergibt:

\frac{\partial^{2}\ln L(\lambda)}{\partial\lambda^{2}}=-\frac{10}{\lambda ^{2}}< 0

womit die hinreichende Bedingung für ein Maximum erfüllt ist.