Maximum-Likelihood-Methode/Beispiele

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Beispiele

Autounfälle

In einem Zeitraum von 50 Tagen wird die Anzahl der Autounfälle pro Tag in einem Ort erfasst. Das Ergebnis wird in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Anzahl der Autounfälle pro Tag Anzahl der Tage
0 21
1 18
2 7
3 3
4 1

Der Stichprobe liegt ein Zufallsexperiment zugrunde, bei dem die Ereignisse (Autounfälle) zufällig und unabhängig voneinander in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebenen Umfangs (Tag) auftreten können.

Die Zufallsvariable bezeichne die Anzahl der Autounfälle pro Tag und ist Poisson-verteilt: .

Der Parameter ist unbekannt und soll mittels der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden.

Für die Likelihood-Funktion der realisierten Stichprobe folgt:

Für die Log-Likelihood-Funktion ergibt sich:

Differenzieren nach und Nullsetzen führt zu

und damit

Die hinreichende Bedingung für ein Maximum an der Stelle ist erfüllt, da

ist.

Landeabstände

Herr Businessman hat während einer Dienstreise längeren Aufenthalt auf einem Flughafen.

Um sich die Zeit zu vertreiben, stoppt er die Zeit zwischen zwei landenden Flugzeugen auf derselben Rollbahn.

Er notiert folgende Stichprobenwerte (in Minuten):

3, 6, 6, 4, 8, 2, 4, 5, 9, 3.

Die Zufallsvariable bezeichne das Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Landungen und wird als exponentialverteilt mit dem unbekannten Parameter angenommen.

Unter Verwendung der Maximum-Likelihood-Methode schätzt Herr Businessman diesen Parameter. Die Likelihood-Funktion für die realisierte Stichprobe ist gegeben mit

und die Log-Likelihood-Funktion mit

Ableiten nach und Nullsetzen führt zu

Für die ML-Schätzung für der exponentialverteilten Grundgesamtheit resultiert:

Die zweite Ableitung nach ergibt:

womit die hinreichende Bedingung für ein Maximum erfüllt ist.