Skalierung

Grundbegriffe

Skalierung

Unter Skalierung wird die relationsgetreue Abbildung einer Zeichenmenge (Skala) auf eine Menge von statistisch erhobenen Einheiten bezüglich eines Merkmals verstanden.

Je höherwertig ein Merkmal skaliert ist, desto breiter ist das Spektrum der anwendbaren statistischen Methoden.

Skala oder Skalenniveau/Messniveau

Eine weitere wichtige Unterscheidung von Merkmalen ist die Skala (auch: Skalenniveau oder Messniveau), auf der das jeweilige Merkmal gemessen wird. Diese Unterscheidung ist deshalb von Bedeutung, weil sie den Kreis der anwendbaren statistischen Methoden bestimmt.

In der Statistik werden überwiegend folgende Skalen verwendet: die Nominalskala, Ordinalskala, Kardinalskala, Intervallskala, Verhältnisskala und Absolutskala.

Die Skalen sind in der angegebenen Reihenfolge hierarchisch, d.h. die Nominalskala ist die niedrigste Skala und die Absolutskala die höchste Skala. Höherwertig skalierte Merkmale können in eine niedrigere Skala transformiert werden, jedoch nicht umgekehrt.

Nominalskala

Eine Nominalskala liegt vor, wenn begriffliche Merkmalsausprägungen durch zugeordnete Zahlen lediglich eine Verschiedenartigkeit zum Ausdruck bringen. Sie drückt die qualitativen Eigenschaften eines Merkmals aus und stellt die einfachste Form einer Skala dar.

Zulässige Relationen einer Nominalskala sind nur: "gleich" oder "ungleich".

Merkmale, die auf einer Nominalskala gemessen werden, heißen nominalskalierte Merkmale.

Nominalzahlen oder Schlüsselzahlen

Die den begrifflichen Merkmalsausprägungen einer Nominalskala zugeordneten Zahlen werden als Nominalzahlen oder Schlüsselzahlen bezeichnet. Auf Grund der Nominalskalierung haben sie eine reine Bezeichnungsfunktion.

Ordinalskala

Eine Ordinalskala liegt vor, wenn Merkmalsausprägungen durch zugeordnete Zahlen nicht nur eine Verschiedenartigkeit, sondern auch eine natürliche Rangfolge zum Ausdruck bringen. Sie drückt die qualitativen Eigenschaften eines Merkmals aus.

Neben den Relationen der Nominalskala sind als weitere Relationen "größer als" und "kleiner als" zulässig.

Abstände zwischen den Merkmalsausprägungen sind nicht quantifizierbar und besitzen keine Aussagefähigkeit.

Merkmale, die auf einer Ordinalskala gemessen werden, heißen ordinalskalierte Merkmale.

Beispiel: Bei Zensuren mit den Rangzahlen {1, 2, 3, 4, 5, 6} läßt sich sagen, daß eine 2 (gut) besser ist als eine 3 (befriedigend). Der Abstand zwischen den beiden Zensuren läßt sich dagegen nicht interpretieren - es kann nicht gefolgert werden, daß eine 2 (gut) doppelt so gut wie eine 4 (genügend) ist.

Weitere Beispiele

militärischer Dienstgrad

Wind- und Erdbebenstärken

Güteklassen für Produkte

Aggressivität

Intelligenz

sozialer Status

Rangzahl

Seien $X\;$ und $Y\;$ Merkmale. Dann werden die den begrifflichen Merkmalsausprägungen einer Ordinalskala zugeordneten Zahlen als Rangzahlen

$R(x_{i}),R(y_{i}),\ i=1,\ldots ,n$ bezeichnet.

Kardinalskala oder metrische Skala

Eine Kardinalskala oder metrische Skala liegt vor, wenn Merkmalsausprägungen durch zugeordnete Zahlen sowohl Verschiedenartigkeit und Rangfolge als auch mess- und quantifizierbare Unterschiede zum Ausdruck bringen.

Sie drückt die quantitativen Eigenschaften eines Merkmals aus. Merkmale, die auf einer metrischen Skala gemessen werden, heißen metrisch skalierte Merkmale und ihre Merkmalswerte sind im allgemeinen das Ergebnis eines Zähl- oder Messprozesses.

Die metrische Skala wird weiter unterteilt in:

Intervallskala

Eine Intervallskala liegt vor, wenn die Abstände (Differenzen) zwischen Merkmalswerten messbar und plausibel interpretierbar sind. Quotienten können nicht sinnvoll gebildet werden.

Intervallskalierte Merkmale besitzen keinen natürlichen Nullpunkt und keine natürliche Maßeinheit.

Beispiel: Temperatur °C, Kalenderzeitrechnung oder Breiten- und Längengrade der Erde.

Ein Temperaturanstieg von 10 Grad Celsius ist geringer als ein Temperaturanstieg von 14 Grad Celsius. Es wäre jedoch falsch zu behaupten, dass ein Anstieg von 14 Grad Celsius 40% größer sei als ein Anstieg von 10 Grad Celsius.

Verhältnisskala

Eine Verhältnisskala liegt vor, wenn außer Abständen zwischen Merkmalsausprägungen auch Quotienten von Merkmalswerten berechenbar und plausibel interpretierbar sind.

Verhältnisskalierte Merkmale besitzen einen natürlichen Nullpunkt, aber keine natürliche Maßeinheit.

Beispiel: Längenmaße, Gewichtsmaße, Alter oder Wertvolumen eines Warenkorbes.

Ein 10 kg schwerer Stein ist doppelt so schwer wie ein 5 kg schwerer Stein.

Absolutskala

Als Absolutskala wird eine metrische Skala bezeichnet, die sowohl einen natürlichen Nullpunkt als auch eine natürliche Maßeinheit besitzt.

Beispiel: Stückzahl, Anzahl der immatrikulierten Studierenden an einer Universität

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