توزيع نسبة العينة

توزيع نسبة العينة, المثال الداعم لتوزيع نسبة العينة ,مثال لتوزيع نسبة العينة

7.3 توزيع نسبة العينة

نعتبر المجتمع الثنائي مع نوعين من العناصر وتكون نسبة العناصر مع الخاصة $A\,$ هي $\pi \,$

بينما تكون نسبة العناصر التي لا تملك هذه الخاصة $A\,$ هي $1-\pi \,$.

الاختيار العشوائي لعنصر من هذا المجتمع يعطي للمتغير العشوائي القيمة 1 اذا العنصر المختار له الخاصة $A\,$ و يأخذ القيمة 0 عكس ذلك .

تنتج السحوبات $n\,$ متغيرات عشوائية $X_{1},\ldots ,X_{n}$ تأخذ القيم 0 أو 1 فقط.

دعنا نشير الى $X\,$ بعدد العناصر في العينة من الحجم $n\,$ مع الخاصة $A\,$

(بمعنى $X\,$ تساوي التكرار المطلق للعناصر مع الخاصة $A\,$ في العينة ). عندئذ

${\widehat {\pi }}={\frac {X}{n}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

تكون النسبة ( بمعنى التكرار النسبي ) للعناصر في العينة من الحجم $n\,$ مع الخاصة $A\,$ (نسبة العينة).

بعد السحب الحالي للعينة, يكون العدد المحدد $x\,$ من عناصر العينة مع الخاصة $A\,$

وتأخذ نسبة العينة القيمة ${\widehat {\pi }}=x/n$

تختلف $X\,$و ${\widehat {\pi }}$ من عينة لأخرى (حتى اذا حجم العينة $n\,$ ثابت).

بمعنى هي توابع احصائية للعينة وستحدد توزيعاتهم للعينة, القيمة المتوقعة والتباين بالأسفل.

يعتمد توزيع العينة على :

• كيفية سحب العينة (مع أو بدون احلال ).

• حجم المجتمع

1- العينة العشوائية مع الاحلال : ويقابل ذلك اجراءات تجارب بيرنولي $n\,$. كل متغيرات

العينة لها التوزيع التالي :

مع التوقع $E(X_{i})=\pi \,$ والتباين $Var(X_{i})=\pi \cdot (1-\pi )$.

في هذه الحالة تتبع $X\,$ التوزيع الثنائي القيم مع العناصر $n\,$و $\pi \,$, $X\sim B(n;\pi )$:

$f_{B}(x|n;\pi )={\begin{cases}{n \choose x}\pi ^{x}(1-\pi )^{n-x}&x=0,1,\ldots ,n\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

مع

$E(X)=n\cdot \pi ,\ \quad Var(X)=\sigma ^{2}(X)=n\cdot \pi \cdot (1-\pi )$

حيث: ${\widehat {\pi }}=X/n$ و معامل ثابت , ينتج لذلك نسبة العينة ${\widehat {\pi }}$

لها التابع الاحتمالي المتعلق الى $X\,$. القيمة المتوقعة والتباين الى ${\widehat {\pi }}$ تساوي:

$E({\widehat {\pi }})=E(X/n)=E(X)/n=(n{\cdot \pi )}/n=\pi$

$Var({\widehat {\pi }})=\sigma ^{2}({\widehat {\pi }})=Var(X/n)=Var(X)/n^{2}=n{\cdot \pi \cdot (1-\pi )}/n^{2}=\pi \cdot (1-\pi )/n$

التقريب:

نلاحظ نسبة العينة هي متوسط المتغيرات العشوائية المستقلة $n\,$ لبيرنولي.

لذلك يمكن استعمال نظرية النهاية المركزية لاستنتاج أن حجم العينة $n\,$ كبير بشكل كافي.

توزيعها وتوزيع $X\,$ (أي الثنائي) يمكن تقريبه بواسطة التوزيع الطبيعي:

$X\approx N(\mu ,\sigma ^{2})\;{\mbox{ ; }}\;\mu =E(X)=n\cdot \pi \;{\mbox{ , }}\;\sigma ^{2}=\sigma ^{2}(X)=n\cdot \pi \cdot (1-\pi )$

و

${\widehat {\pi }}\approx N(\mu ,\sigma )\;{\mbox{ ; }}\;\mu =E({\widehat {\pi }})=\pi \;{\mbox{, }}\;\sigma ^{2}=\sigma ^{2}({\widehat {\pi }})=\pi \cdot (1-\pi )/n$.

على التوالي. نعتبر حجم العينة كبير بشكل كافي لأجل التقريبات الجيدة اذا: $n\cdot \pi \geq 5$ و $n\cdot (1-\pi )\geq 5$.

للحصول على التقريب المحسن. سيستخدم التصحيح المستمر بمعنى : لحساب $P(x_{1}\leq X\leq x_{2})$ باستعمال التوزيع الطبيعي المعياري.

يطبق المرء

$z_{1}={\frac {x_{1}-0.5-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\qquad z_{2}={\frac {x_{2}+0.5-np}{\sqrt {np(1-p)}}}$

و لحساب الاحتمال $P(p_{1}\leq {\widehat {\pi }}\leq p_{2})$

$z_{1}={\frac {{\frac {np_{1}-0.5}{n}}-\pi }{\sqrt {\frac {\pi (1-\pi )}{n}}}}={\frac {p_{1}-{\frac {1}{2n}}-\pi }{\sqrt {\frac {\pi (1-\pi )}{n}}}}$

$z_{2}={\frac {{\frac {np_{2}-0.5}{n}}-\pi }{\sqrt {\frac {\pi (1-\pi )}{n}}}}={\frac {p_{2}-{\frac {1}{2n}}-\pi }{\sqrt {\frac {\pi (1-\pi )}{n}}}}$

2 - العينة العشوائية بدون احلال :

تشير $N\,$ لحجم المجتمع,تشير $M\,$ لعدد العناصر في المجتمع مع الخاصة $A\,$

وتشير $n\,$ لحجم العينة. عندئذ $\pi =M/N\,$ نسبة العناصر في المجتمع مع الخاصة $A\,$.

$X\,$ و ${\widehat {\pi }}$ معرفة كالسابق.

تحت فروض العينة بدون اعادة, تتبع $X\,$ التوزيع الهندسي مع العناصر $M\,$ , $n\,$ , $N\,$

تعطى القيمة المتوقعة والتباين للمتغير الهندسي $X\,$ بواسطة :

$E(X)=n\cdot {\frac {M}{N}}=n\pi$

$Var(X)=\sigma ^{2}(X)=n\pi (1-\pi ){\frac {N-n}{N-1}}=n\cdot {\frac {M}{N}}\cdot {\frac {N-M}{N}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}$

${\widehat {\pi }}$ له تابع التوزيع المتعلق بأن $X=n\cdot {\widehat {\pi }}$.

التوقع والتباين الى ${\widehat {\pi }}$

$E({\widehat {\pi }})={\frac {1}{n}}E(X)=\pi$

$Var({\widehat {\pi }})=\sigma ^{2}({\widehat {\pi }})={\frac {1}{n^{2}}}\sigma ^{2}(X)={\frac {\pi (1-\pi )}{n}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}$

التقريبات :

لأجل $N\,$ و $M\,$ كبيرة و $n/N\,$ صغيرة, سيقرب التوزيع الهندسي بواسطة التوزيع الثنائي مع $\pi =M/N\,$.

قاعدة التجريب : $n/N\leq 0,05$

طبقا لنظرية النهاية المركزية لأجل حجم العينة الكبير بشكل كافي سيقرب التوزيع الهندسي بواسطة التوزيع الطبيعي حتى تحت فروض العينات بدون اعادة

$X\approx N(\mu ,\sigma ){\mbox{ ; }}\mu =E(X)=n\cdot \pi {\mbox{ , }}\sigma =\sigma (X)$

و

${\widehat {\pi }}\approx N(\mu ,\;\sigma ){\mbox{ ; }}\mu =E({\widehat {\pi }})=\pi {\mbox{ , }}\sigma =\sigma ({\widehat {\pi }})$

على التوالي ونعتبر حجم العينة كبير بشكل كافي اذا