مثال لتوزيع نسبة العينة

مثال لتوزيع نسبة العينة

طبقا للاحصاءات الألمانية يوجد 37.3 مليون أسرة في ألمانيا في نيسان 1996 , منهم 35 % أسر من شخص واحد.

المشكلة 1 :

من هذا المجتمع, $n=10\,$ عائلات مختارة عشوائيا بدون اعادة.

• ما هو توزيع $X\,$ (عدد العائلات من شخص واحد في العينة ) و ${\widehat {\pi }}$ ( نسبة العائلات من شخص واحد في العينة).

• الحصول على التوقع , التباين والانحراف المعياري لهذا التوزيع .

• ما هو احتمال نسبة العائلات من شخص واحد في العينة أكبر من 0.2 لكن أصغر من 0.5.

من $N=37,3\,$ مليون عائلة في المجتمع (المحدود الحجم) $M=13,055\,$ مليون عائلة من شخص واحد.

الاختيار العشوائي $n=10\,$ عائلة , تعطى المتغيرات العشوائية العشرة $X_{i}\;(i=1,...,10)$

والتي تأخذ القيمة $X_{i}=1\,$ اذا العائلة المختارة من شخص واحد وتأخذ القيمة $X_{i}=0\,$ عكس ذلك .

المتغير العشوائي $X\,$ هو مجموع متغيرات العينة العشرة و يعطي عدد العائلات من شخص واحد في العينة بينما ${\widehat {\pi }}=X/n$ تعطي نسبتهم في العينة .

تحت فروض العينة بدون اعادة , $X\,$ له التوزيع الهندسي $X\sim H(N;M;n)=H(37,3{\mbox{ Mill. }};\;13,055{\mbox{ Mill. }};\;10)$.

النسبة ${\widehat {\pi }}$ لها تابع الاحتمال المتعلق الى $X=n\cdot {\widehat {\pi }}$.

حيث حجم المجتمع $N\,$ كبير جدا و $n/N=10/(37,3{\mbox{ Mill.}})<0,05\,$ صغير جدا

يمكن تجاهل محدودية المجتمع والتوزيع الثنائي مع: $\pi =M/N=0,35\,$ سيستخدم كتقريب $X\approx B(n;\;\pi )=B(10;0,35)$.

التوقع, التباين , الانحراف

$E(X)=10\cdot 0,35=3,5$	$Var(X)=10\cdot 0,35\cdot 0,65=2,275$	$\,\sigma (X)=1,5083$
$E({\widehat {\pi }})=0,35$	$Var({\widehat {\pi }})=0,35\cdot 0,65/10=0,02275$	$\sigma ({\widehat {\pi }})=0,1508$

نجد الاحتمال المطلوب $P(0,2<{\widehat {\pi }}<0,5)$ كالتالي :

لأن: $X=n\cdot {\widehat {\pi }}$, ينتج أن: $x_{1}=10\cdot 0,2=2$ , $x_{2}=10\cdot 0,5=5$, و الاحتمال المطلوب $P(2<X<5)\,$. مساوي الى:

$P(2<X<5)=P(X\leq 4)-P(X\leq 2)=F_{B}(4)-F_{B}(2)=0,7515-0,2616=0,4899$

حيث: $F_{B}(4)\,$ و $F_{B}(2)\,$ نستطيع الحصول عليها من جدول التوزيع الثنائي $B(10;0,35)\,$.

المشكلة 2 :

من المجتمع الموصوف فوق , حجم العينة $n=2000\,$ المسحوبة بدون اعادة.

• ما هو توزيع عدد ونسبة العائلات من شخص واحد على التوالي ؟

• اعطاء التوقع التباين و الانحراف المعياري .

• ما هو احتمال عدد العائلات من شخص واحد في العينة أكبر من أو يساوي الى 700 لكن أقل من أو يساوي الى 725 بمعنى $700\leq X\leq 725$

تعرف $X\,$ و ${\widehat {\pi }}$ كما في المشكلة 1 حيث المجتمع كبير جدا والعينة صغيرة نسبيا للمجتمع.

ليس مهما اذا العينة المسحوبة مع أو بدون اعادة و يستخدم التوزيع الثنائي كتقريب .

التوقع, التباين, الانحراف المعياري .

$E(X)=2000\cdot 0,35=700$	$Var(X)=2000\cdot 0,35\cdot 0,65=455$	$\,\sigma (X)=21,33$
$E({\widehat {\pi }})=0,35$	$Var({\widehat {\pi }})=0,35\cdot 0,65/2000=0,000114$	$\sigma ({\widehat {\pi }})=0,01067$

لا يوجد جدول لأجل تابع التوزيع للتوزيع الثنائي $B(2000;0,35)\,$ و يستخدم الكمبيوتر لحساب:

$P(700\leq X\leq 725)=P(X\leq 725)-P(X<700)=F_{B}(725)-F_{B}(699)=0,8839-0,4916=0,3923$

حيث حجم العينة $n=2000\,$ كبير جدا والمعيار: $n\cdot \pi =2000\cdot 0,35=700\geq 5$ و $n(1-\pi )=2000\cdot 0,65=1300\geq 5$ كافي, سيستخدم التوزيع الطبيعي كتقريب للتوزيع الثنائي :

$X\approx N(700;21,33)\,,\qquad {\widehat {\pi }}\approx N(0,35;0,01067)$

مع:

$z_{1}={\frac {700-0,5-700}{21,33}}=-0,02344$

$z_{2}={\frac {725+0,5-700}{21,33}}=1,1955$

ينتج ذلك:

$P(700\leq X\leq 725)\approx \Phi (1,1955)-\Phi (-0,02344)=\Phi (1,1955)-(1-\Phi (0,02344))$

$=0,884054-(1-0,509351)=0,3934\,$