المثال الداعم لتوزيع نسبة العينة

من صندوق مع $N\,$ كرات, ونسبة الكرات الحمراء $\pi \,$ , العينات من الحجم $n\,$ المسحوبة بدون اعادة.

نحسب احتمال الحصول على العينات مع نسب الكرات الحمراء بين $p_{1}\,$ و $p_{2}\,$

المشكلة 1 :

من حجم المجتمع $N=5\,$ و $\pi =0,4\,$ , حجم العينة $n=3\,$ تسحب بدون اعادة.

المتغير العشوائي $X\,$ هو مجموع المتغيرات العشوائية الثلاثة التي تعطي عدد الكرات الحمراء

في العينة والمتغير العشوائي ${\hat {\pi }}=X/n$ يعطي نسبة الكرات الحمراء في العينة .

• ما هو توزيع عدد ونسبة الكرات الحمراء في العينة على التوالي ؟

• ما هو احتمال نسبة الكرات الحمراء في العينة بين 3/1 و 3/2 ؟

لأن المجتمع ذو حجم منتهي وتسحب العينة بدون اعادة لذلك ينتج لنا $X\,$ له التوزيع الهندسي

$X\sim H(N;M;n)=H(5;2;3)$

$M=0,4\cdot 5=2$

نريد حساب: $P(1/3\leq {\widehat {\pi }}\leq 2/3)$

حيث: $X=n\cdot {\widehat {\pi }}$ , ينتج لدينا: $x_{1}=3\cdot 1/3=1$ و $x_{2}=3\cdot 2/3=2$, لذلك نهتم بحساب $P(1\leq X\leq 2)$.

$P(1\leq X\leq 2)=f(1)+f(2)=0,9{\mbox{ ; }}f(1)=0.6{\mbox{ , }}f(2)=0,3$

المشكلة 2 :

من حجم المجتمع $N=1000\,$ والنسبة $\pi =0,2\,$ , حجم العينة المسحوبة بدون اعادة $n=4\,$

المتغير العشوائي $X\,$ هو مجموع المتغيرات العشوائية الأربعة ويعطي عدد الكرات الحمراء في

العينة . يعطي المتغير العشوائي ${\hat {\pi }}=X/n$ نسبة الكرات الحمراء في العينة

• ما هو توزيع عدد ونسبة الكرات الحمراء في العينة على التوالي ؟

• ما هو احتمال نسبة الكرات الحمراء في العينة بين 0.25 و 0.75 ؟

لأن العينة مسحوبة بدون اعادة وحجم المجتمع منتهي, وتتبع $X\,$ التوزيع الهندسي $X\sim H(1000;200;4)$.

ولكن المجتمع كبير جدا حيث: $n/N=0,004<0,05\,$ , تقرب $X\,$ بواسطة التوزيع الثنائي مع العناصر $\pi =M/N=0,2\,$

$X\approx B(4;0,2)$.

ينبغي استعمال هذا التوزيع الاحتمالي لحساب الاحتمالات لأجل ${\widehat {\pi }}$

نهتم بحساب: $P(0,25\leq {\widehat {\pi }}\leq 0,75)$ حيث: $X=n\cdot {\widehat {\pi }}$ ولذلك: $x_{1}=4\cdot 0,25=1$ و $x_{2}=4\cdot 0,75=3$.

الاحتمال المطلوب الى $X\,$ هو: $P(1\leq X\leq 3)$

$P(1\leq X\leq 3)=F_{B}(3)-F_{B}(0)=0,9984-0,4096=0,5888$

$F_{B}(3)\,$و $F_{B}(0)\,$ يمكن الحصول عليها من جدول تابع التوزيع للتوزيع الثنائي $B(4;0,2)\,$.

المشكلة 3 :

من حجم المجتمع $N=2500\,$ والنسبة $\pi =0,2\,$, حجم العينة $n=\,100$ تسحب بدون اعادة.

المتغير العشوائي $X\,$ هو مجموع المتغيرات العشوائية المئة ويعطي عدد الكرات الحمراء في العينة .

يعطي المتغير العشوائي ${\hat {\pi }}=X/n$ نسبة الكرات الحمراء في العينة.

• ما هو توزيع عدد ونسبة الكرات الحمراء في العينة على التوالي ؟

• ما هو احتمال نسبة الكرات الحمراء في العينة بين 0.14 و 0.3 ؟

لأن العينة مسحوبة بدون اعادة وحجم المجتمع منتهي, وتتبع $X\,$ التوزيع الهندسي

$X\sim H(2500;500;100)$.

لكن حجم العينة $n=100\,$ كبير والمعيار: $n\cdot M/N=100\cdot 0,2=20\geq 5,\;n(1-M/N)=80\geq 5$

و $n/N=0,04<0,05\,$ كافي, يمكن استخدام التوزيع الطبيعي مع $E({\widehat {\pi }})=\pi =0,2$

$Var({\widehat {\pi }})=[\pi (1-\pi )/n]\cdot \lbrack (N-n)/(N-1)]=0,001537$

$\sigma ({\widehat {\pi }})=0,039\approx 0,04$.

حينئذ يقرب التوزيع الهندسي بواسطة التوزيع الطبيعي $N(0,2;0,04)\,$.

يحسب الاحتمال المطلوب :$P(0,14\leq {\widehat {\pi }}\leq 0,3)$ باستعمال: $z_{2}=(0,14-0,2)/0,04=-\,1,5$ و $z_{1}=(0,3-0,2)/0,04=2,5\,$ ويقود الى

$P(0,14\leq {\widehat {\pi }}\leq 0,3)=\Phi (2,5)-\Phi (-1,5)=\Phi (2,5)-(1-\Phi (1,5))=0,99379-(1-0,933193)=0,9269$

$\Phi (2,5)\,$ و $\Phi (1,5)\,$ نحصل عليهما من جدول التوزيع الطبيعي المعياري .