الفرق بين المراجعتين لصفحة: «مجال الثقة للمتوسط»
من MM*Stat Arabisch
لا ملخص تعديل |
لا ملخص تعديل |
||
سطر ١: | سطر ١: | ||
<math> X\sim N(\mu;\sigma^{2})\,,\ X_{i}\sim N(\mu;\sigma^{2})\ </math> و | [[مجال الثقة للمتوسط]],[[تحديد مجالات الثقة للتوقع ]],[[المثال الداعم لمجالات الثقة للتوقع ]],[[مثال: مجالات الثقة للتوقع ]] | ||
[[صورة:H100.gif]] '''8.5 مجال الثقة للمتوسط''' | |||
نفرض المتغير العشوائي <math>X</math> مع [[التوقع]] المجهول <math>E(X) = \mu</math>, نريد القيام [[بتقدير المجال]] <math> \mu</math>, ندع <math>X_{1},\ldots,X_{n}</math> نقدم <math>n</math> سحوبات من هذا المجتمع ويعرف بمتوسط العينة. | |||
<math>\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}</math> | |||
وهو تقدير فعال ومتماسك وغير متحيز الى <math> \mu</math> | |||
التباين والانحراف المعياري الى <math>\bar{x}</math> يعطى بواسطة (في حالة العينة العشوائية مع الاعادة , شاهد الفصل 7) | |||
<math>Var(\bar{x})=\sigma^{2}(\bar{x})=\frac{\sigma^{2}}{n}</math> | |||
<math>\sigma(\bar{x})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> | |||
لبناء مجال الثقة ثنائي الاتجاه الى <math> \mu</math>: | |||
*نبدأ مع المقدر <math>\bar{x}</math> | |||
*يستخدم الانحراف المعياري <math>\sigma(\bar{x})</math> لقياس الدقة. | |||
*يتطلب ضرب الشعاع <math>c</math> بالانحراف المعياري الى <math>\bar{x}</math> للحصول على مجال الثقة المطلوب. لبناء المجال: | |||
<math>\lbrack V_{u};V_{o}]=[\bar{x}-c\cdot\sigma(\bar{x}),\bar{x}+c\cdot\sigma(\bar{x})]</math> | |||
نقوم بتبديل <math>\sigma(\bar{x})</math> | |||
<math>\lbrack V_{u};V_{o}]=\left[\bar{x}-c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math> | |||
ونكتب المجال الاحتمالي: | |||
<math>P\left(\bar{x}-c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\bar{x}+c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =1-\alpha</math> | |||
لتحديد <math>c</math> سنحتاج لعمل الفروض لتوزيع البيانات والتي تحدث توزيع <math>\bar{x}</math> | |||
بالأسفل سنفرض البيانات موزعة بشكل طبيعي بشكل بديل في العينات الكبيرة نعرف بواسطة نظرية الحد المركزية أن <math>\bar{x}</math> يقرب للتوزيع الطبيعي سنحتاج للتمييز بين الحالتين: | |||
<math>\sigma</math>معلوم, <math>\sigma</math> مجهول. | |||
'''مجال الثقة للمتوسط مع التباين المعلوم''' | |||
'''المجتمع الموزع بشكل طبيعي''' | |||
نفرض <math>X</math> موزع بشكل طبيعي مع <math>E(X)=\mu</math> و <math>Var(X)=\sigma^{2}</math> | |||
<math>X\sim N(\mu;\sigma^{2})</math> | |||
نفرض <math>\sigma^{2}</math> معلوم والتوقع <math>\mu</math> مجهول. نفرض الشخص يسحب عينة عشوائية من الحجم <math>n</math> | |||
المتغيرات العشوائية <math>X_{1},\ldots,X_{n}</math> موزعة بشكل طبيعي مع <math>E(X)=\mu</math> و <math>Var(X)=\sigma^{2}</math>: | |||
<math>X_{i}\sim N(\mu;\sigma^{2})\quad\mbox{ }\; i</math> | |||
ينتج لدينا المقدر <math>\bar{x}</math> | |||
موزع بشكل طبيعي أيضا مع <math>E(\bar{x})=\mu</math> و <math>\sigma^{2}(\bar{x})=\sigma^{2}/n</math> | |||
<math>\bar{x}\sim N(\mu,\sigma^{2}(\bar{x}))</math> | |||
المتغير العشوائي المعياري: | |||
<math>z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma(\bar{X})}=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}</math> | |||
هو طبيعي معياري <math>Z\sim N(0,1)</math>. | |||
ندع <math>z_{\alpha/2}</math> لتكون <math>\alpha/2</math> و <math>z_{1-\alpha/2}</math> لتكون <math>(1 -\alpha/2)</math>للتوزيع الطبيعي المعياري عندئذ: | |||
<math>P(z_{\alpha/2}\leq Z\leq z_{1-\alpha/2})=1-\alpha</math> | |||
تناظر التوزيع الطبيعي المعياري يعني أن | |||
<math>|z_{\alpha/2}|=|z_{1-\alpha/2}|\; \mbox{ und }\; z_{\alpha/2} = -z_{1-\alpha/2}</math> | |||
عندئذ: | |||
<math>P(-z_{1-\alpha/2}\leq Z\leq z_{1-\alpha/2})=1-\alpha</math> | |||
لأجل الاحتمال <math>1-\alpha/2</math> المطابق للمقدار <math>z_{1-\alpha/2}</math> موجودة في الجداول الطبيعية المعيارية. | |||
بعد استبدال <math>Z</math> سنعزل <math>\mu</math> في منتصف مجال الثقة كالتالي : | |||
<math>P\left( -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq Z\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right) =1-\alpha</math> | |||
<math>P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right) =1-\alpha</math> | |||
<math>P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\bar{X}-\mu\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =1-\alpha</math> | |||
<math>P\left(\bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\bar{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math> | |||
ينتج المجال الاحتمالي الأخير مجال الثقة الى <math>\mu</math> الثابت المضروب بالانحراف المعياري الى يعطى بواسطة: | |||
<math> [\bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\quad\bar{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]</math> | |||
'''خواص مجال الثقة ''' | |||
*يبنى مجال الثقة فوق على الاحتمالات المتساوية لكل طرف | |||
<math>P\left( \mu<\bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=\frac{\alpha}{2} \quad P\left( \bar{X} +z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}<\mu\right)=\frac{\alpha}{2}</math> | |||
*التناظر في توزيع <math>z</math> نتائج في مجال الثقة المتناظر حول <math>\bar{x}</math> | |||
*لا يعتمد طول مجال الثقة | |||
<math>\left(\bar{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)-\left(\bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=2z_{1-\frac {\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} | |||
</math> | |||
على القيم الفعلية <math>x_{1},\ldots,x_{n}</math> لأجل <math>\sigma</math>, <math>n</math> | |||
<math>1-\alpha</math> المعطاة يحصل المرء على مجالات تقدير مختلفة من عينة لأخرى. على أية حال كل مجالات التقدير هذه لها نفس الطول الثابت. | |||
*يعتمد عرض مجال الثقة على الانحراف المعياري <math>\sigma</math>, | |||
للمجتمع, حجم العينة <math>n</math> والمقدار <math>z_{1 - \alpha/2}</math> لدرجة الثقة المعطاة . | |||
زيادة الانحراف المعياري <math>\sigma</math> سيسبب زيادة عرض مجال الثقة, زيادة درجة الثقة <math>1 -\alpha</math> | |||
سيسبب زيادة في عرض مجال الثقة, زيادة حجم العينة <math>n</math> سيسبب زيادة دقة التقدير وعندئذ تضييق مجال الثقة . | |||
اذا توزيع المجتمع مجهول والتباين معلوم عندئذ بواسطة نظرية الحد المركزية يقرب <math>\bar{x}</math> للتوزيع الطبيعي في هذه الحالة سيشاهد مجال الثقة فوق كتقريب . | |||
'''مجال الثقة للمتوسط مع التباين المجهول''' | |||
'''التوزيع الطبيعي في المجتمع''' | |||
كما افترضنا من قبل | |||
[[صورة:Mmengjavaimg2282.gif]] و | |||
<math>\bar{x}\sim N(\mu,\sigma^{2}(\bar{x}))</math> | <math>\bar{x}\sim N(\mu,\sigma^{2}(\bar{x}))</math> | ||
سطر ٦: | سطر ١٩٤: | ||
[[صورة:Mmengjavaimg2286.gif]] | |||
سطر ١٤: | سطر ٢٠١: | ||
[[صورة:Mmengjavaimg2287.gif]] | |||
يتبع المتغير العشوائي '''توزيع-t '''مع درجة الحرية | يتبع المتغير العشوائي '''توزيع-t '''مع درجة الحرية [[صورة:Mmengjavaimg1671.gif]] . | ||
[[صورة:Mmengjavaimg2288.gif]] | |||
ندع | ندع [[صورة:Mmengjavaimg2289.gif]] لتكون المقدار [[صورة:Mmengjavaimg2251.gif]] و [[صورة:Mmengjavaimg2290.gif]] لتكون المقدار [[صورة:Mmengjavaimg2268.gif]] لتوزيع-t وبسبب تناظر توزيع-t | ||
[[صورة:Mmengjavaimg2291.gif]] | |||
سطر ٣٥: | سطر ٢١٩: | ||
[[صورة:Mmengjavaimg2292.gif]] | |||
لأجل الاحتمال | لأجل الاحتمال [[صورة:Mmengjavaimg2272.gif]] يحصل المرء عندئذ على [[صورة:Mmengjavaimg2290.gif]] من جدول توزيع-t. | ||
نستبدل t وبعد اجراء بعض العمليات الجبرية لدينا مجال الثقة: | نستبدل t وبعد اجراء بعض العمليات الجبرية لدينا مجال الثقة: | ||
سطر ٤٥: | سطر ٢٢٨: | ||
[[صورة:Mmengjavaimg2293.gif]] | |||
سطر ٥٤: | سطر ٢٣٦: | ||
[[صورة:Mmengjavaimg2294.gif]] | |||
حيث يقترب توزيع-t للتوزيع | حيث يقترب توزيع-t للتوزيع [[صورة:Mmengjavaimg2295.gif]] | ||
لما حجم العينة <math>n</math> يزداد. | لما حجم العينة <math>n</math> يزداد. | ||
سيستخدم التوزيع الطبيعي المعياري بدلا من توزيع-t اذا حجم العينة كبير بشكل كافي كقاعدة تجريب في حالة | سيستخدم التوزيع الطبيعي المعياري بدلا من توزيع-t اذا حجم العينة كبير بشكل كافي كقاعدة تجريب في حالة [[صورة:Mmengjavaimg1734.gif]] | ||
سطر ٧٢: | سطر ٢٥١: | ||
[[صورة:Mmengjavaimg2296.gif]] | |||
مع حجم العينة المعطاة <math>n</math> ومستوى الثقة | مع حجم العينة المعطاة <math>n</math> ومستوى الثقة [[صورة:Mmengjavaimg1850.gif]] يحصل المرء على مجالات تقدير مختلفة من عينة لأخرى والذي سيعرض أطوال مختلفة. | ||
*يعتمد طول مجال الثقة على حجم العينة <math>n</math> وعلى | *يعتمد طول مجال الثقة على حجم العينة <math>n</math> وعلى | ||
[[صورة:Mmengjavaimg2290.gif]] ومستوى الثقة المعطاة | |||
[[صورة:Mmengjavaimg1850.gif]]. | |||
*المقدار من | *المقدار من | ||
[[صورة:Mmengjavaimg2290.gif]] توزيع-t أكبر من المقدار | |||
[[صورة:Mmengjavaimg1419.gif]] من التوزيع الطبيعي المعياري ومجالات الثقة ستصبح أعرض عندما التباين مجهول. | |||
*اذا توزيع المجتمع مجهول عندئذ باستعمال نظرية الحد المركزية, <math>\bar{x}</math> | *اذا توزيع المجتمع مجهول عندئذ باستعمال نظرية الحد المركزية, <math>\bar{x}</math> | ||
تقرب للتوزيع الطبيعي وينتج الاجراء فوق مجالات الثقة التقريبية. | تقرب للتوزيع الطبيعي وينتج الاجراء فوق مجالات الثقة التقريبية. |
المراجعة الحالية بتاريخ ١٧:٥١، ٣١ يوليو ٢٠٢٠
مجال الثقة للمتوسط,تحديد مجالات الثقة للتوقع ,المثال الداعم لمجالات الثقة للتوقع ,مثال: مجالات الثقة للتوقع
نفرض المتغير العشوائي مع التوقع المجهول , نريد القيام بتقدير المجال , ندع نقدم سحوبات من هذا المجتمع ويعرف بمتوسط العينة.
وهو تقدير فعال ومتماسك وغير متحيز الى
التباين والانحراف المعياري الى يعطى بواسطة (في حالة العينة العشوائية مع الاعادة , شاهد الفصل 7)
لبناء مجال الثقة ثنائي الاتجاه الى :
- نبدأ مع المقدر
- يستخدم الانحراف المعياري لقياس الدقة.
- يتطلب ضرب الشعاع بالانحراف المعياري الى للحصول على مجال الثقة المطلوب. لبناء المجال:
نقوم بتبديل
ونكتب المجال الاحتمالي:
لتحديد سنحتاج لعمل الفروض لتوزيع البيانات والتي تحدث توزيع
بالأسفل سنفرض البيانات موزعة بشكل طبيعي بشكل بديل في العينات الكبيرة نعرف بواسطة نظرية الحد المركزية أن يقرب للتوزيع الطبيعي سنحتاج للتمييز بين الحالتين:
معلوم, مجهول.
مجال الثقة للمتوسط مع التباين المعلوم
المجتمع الموزع بشكل طبيعي
نفرض موزع بشكل طبيعي مع و
نفرض معلوم والتوقع مجهول. نفرض الشخص يسحب عينة عشوائية من الحجم
المتغيرات العشوائية موزعة بشكل طبيعي مع و :
ينتج لدينا المقدر
موزع بشكل طبيعي أيضا مع و
المتغير العشوائي المعياري:
هو طبيعي معياري .
ندع لتكون و لتكون للتوزيع الطبيعي المعياري عندئذ:
تناظر التوزيع الطبيعي المعياري يعني أن
عندئذ:
لأجل الاحتمال المطابق للمقدار موجودة في الجداول الطبيعية المعيارية.
بعد استبدال سنعزل في منتصف مجال الثقة كالتالي :
ينتج المجال الاحتمالي الأخير مجال الثقة الى الثابت المضروب بالانحراف المعياري الى يعطى بواسطة:
خواص مجال الثقة
- يبنى مجال الثقة فوق على الاحتمالات المتساوية لكل طرف
- التناظر في توزيع نتائج في مجال الثقة المتناظر حول
- لا يعتمد طول مجال الثقة
على القيم الفعلية لأجل ,
المعطاة يحصل المرء على مجالات تقدير مختلفة من عينة لأخرى. على أية حال كل مجالات التقدير هذه لها نفس الطول الثابت.
- يعتمد عرض مجال الثقة على الانحراف المعياري ,
للمجتمع, حجم العينة والمقدار لدرجة الثقة المعطاة .
زيادة الانحراف المعياري سيسبب زيادة عرض مجال الثقة, زيادة درجة الثقة
سيسبب زيادة في عرض مجال الثقة, زيادة حجم العينة سيسبب زيادة دقة التقدير وعندئذ تضييق مجال الثقة .
اذا توزيع المجتمع مجهول والتباين معلوم عندئذ بواسطة نظرية الحد المركزية يقرب للتوزيع الطبيعي في هذه الحالة سيشاهد مجال الثقة فوق كتقريب .
مجال الثقة للمتوسط مع التباين المجهول
التوزيع الطبيعي في المجتمع
كما افترضنا من قبل
سنحتاج ثانية المتغير العشوائي الذي يعتمد فقط على العنصر المجهول المتغير العشوائي المعياري لن يعمل لأنه يتطلب لنا معرفة نفرض التباين يقدر باستعمال
ونستبدل بالانحراف المعياري للحصول
يتبع المتغير العشوائي توزيع-t مع درجة الحرية .
ندع لتكون المقدار و لتكون المقدار لتوزيع-t وبسبب تناظر توزيع-t
حينئذ ينتج:
لأجل الاحتمال يحصل المرء عندئذ على من جدول توزيع-t.
نستبدل t وبعد اجراء بعض العمليات الجبرية لدينا مجال الثقة:
للعنصر المجهول مع المجال الاحتمالي المطابق ويعطى مجال الثقة بواسطة:
حيث يقترب توزيع-t للتوزيع لما حجم العينة يزداد.
سيستخدم التوزيع الطبيعي المعياري بدلا من توزيع-t اذا حجم العينة كبير بشكل كافي كقاعدة تجريب في حالة
خواص مجال الثقة:
- الخواص مشابهة كما في الحالة السابقة ما عدا طول مجال الثقة ليس ثابت لكن المتغير العشوائي يعتمد على التقدير من
مع حجم العينة المعطاة ومستوى الثقة يحصل المرء على مجالات تقدير مختلفة من عينة لأخرى والذي سيعرض أطوال مختلفة.
- يعتمد طول مجال الثقة على حجم العينة وعلى
- المقدار من
توزيع-t أكبر من المقدار من التوزيع الطبيعي المعياري ومجالات الثقة ستصبح أعرض عندما التباين مجهول.
- اذا توزيع المجتمع مجهول عندئذ باستعمال نظرية الحد المركزية,
تقرب للتوزيع الطبيعي وينتج الاجراء فوق مجالات الثقة التقريبية.