مثال: مجالات الثقة للتوقع

مثال: مجالات الثقة للتوقع

لأجل المجتمع $N=2000$ عائلات, ندع $X$ ليكون متغير عشوائي يقدم الدخل الصافي للعائلة. القيمة المتوقعة للدخل الصافي للعائلة بمعنى :

$E(X)=\mu$, مجهول وهو موضوع التقدير.

نهتم بتقدير النقطة ومجال الثقة مع درجة الثقة .

لتقدير $\mu$ نستعمل متوسط العينة:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$

يحدد تعيين مجال الثقة بواسطة المعلومات المتوفرة حول المجتمع.

المجتمع الموزع بشكل طبيعي :

1-1 مجال الثقة الى $\mu$ مع الانحراف المعياري المعلوم $\sigma$

نفرض المتغير العشوائي $X$ (الدخل الصافي للعائلة). له التوزيع الطبيعي مع الانحراف المعياري $\sigma =1012,8$ , باستعمال هذه المعلومات يمكن حساب مجال الثقة ثنائي الجانب:

$\left[{\bar {x}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},\quad {\bar {x}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]$

لأجل $\mu$ لها مجال الثقة:

$P\left({\bar {x}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {x}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

للمستوى المعطى من . يحصل المرء $z_{1-\alpha /2}=z_{0,975}=1,96$

باستبدال $\sigma$ و $z_{0,975}$ نحصل على:

$P\left({\bar {x}}-1,96{\frac {1012,8}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {x}}+1,96{\frac {1012,8}{\sqrt {n}}}\right)=0,95$

و

$\left[{\bar {x}}-1,96{\frac {1012,8}{\sqrt {n}}},\quad {\bar {x}}+1,96{\frac {1012,8}{\sqrt {n}}}\right]$

العينة العشوائية من الحجم $n=20$ عائلة (مع الاعادة) من المجتمع أعلاه لذلك نحصل على النتائج التالية :

الجدول 1 : المشاهدات للدخل الصافي للعائلة ,حجم العينة $n=20$ ,

$i$	الدخل الصافي للعائلة () $x_{i}$	$i$	الدخل الصافي للعائلة () $x_{i}$
1	800	11	2500
2	1200	12	2500
3	1400	13	2500
4	1500	14	2700
5	1500	15	2850
6	1500	16	3300
7	1800	17	3650
8	1800	18	3700
9	2300	19	4100
10	2400	20	4300

متوسط الدخل الصافي للعائلة هو ${\bar {x}}=48300/20=2415$

يعطى مجال الثقة المقدر بواسطة :

$=[2415-443,88;\quad 2415+443,88]$	$\left[2415-1,96{\frac {1012,8}{\sqrt {20}}};\quad 2415+1,96{\frac {1012,8}{\sqrt {20}}}\right]$
	$=[1971,12;\quad 2858,88]$

لتصوير بعض القضايا المتعلقة بمجالات الثقة , العينات 24 المسحوبة من الحجم $n=20$ , تم حساب متوسط الدخل الصافي للعائلات ${\bar {x}}$ ومجال الثقة المطابق لكل عينة.

الجدول2 : متوسط الدخل الصافي للعائلة ومجال الثقة للعينات العشوائية 25 من الحجم $n=20$

$i$	${\bar {x}}$	$v_{L}$	$v_{U}$	$i$	${\bar {x}}$	$v_{L}$	$v_{U}$
1	2413,40	1969,52	2857,28	14	2126,50	1682,62	2570,38
2	2317,00	1873,12	2760,88	15	2243,15	1799,27	2687,03
3	2567,50	2123,62	3011,38	16	2361,25	1917,37	2805,13
4	2060,90	1617,02	2504,78	17	2607,5	2163,37	3051,13
5	2363,50	1919,62	2807,38	18	2319,55	1875,67	2763,43
6	2774,30	2330,42	3218,18	19	2203,85	1759,97	2647,73
7	2298,80	1854,92	2742,68	20	2395,25	1951,37	2839,13
8	72241,15	1797,27	2685,03	21	2659,00	2215,12	3102,88
9	1915,30	1471,42	2359,18	22	2168,50	1724,62	2612,38
10	2062,15	1618,27	2506,03	23	2110,30	1666,42	2554,18
11	2267,75	1823,87	2711,63	24	1884,90	1441,02	2328,78
12	2163,10	1719,22	2606,98	25	2415,00	1971,12	2858,88
13	2635,00	2191,12	3078,88

يظهر الشكل البياني التالي نقاط التقدير 25 ومجالات الثقة . يصور المتوسط الحقيقي $\mu$ للمجتمع كخط منقطع .

الشكل1: تقديرات النقطة ومجالات الثقة للعينات العشوائية 25 من الحجم $n=20$ .

نلاحظ التالي:

• الحدود $V_{L}$ و $V_{U}$ لمجال الثقة هي متغيرات عشوائية وتختلف من عينة لأخرى.

• للمجالات 25 و 23 تحتوي (0.92%) للقيمة الحقيقية $\mu$ والمجالات 2 (العينة رقم 9 و24 )لا تحتوي

ولا يتعارض هذا مع درجة الثقة الثابتة 0.95

الجواب لا , حيث تشير درجة الثقة لعدد كبير جدا من العينات (أكبر من 25).

• جميع المجالات 25 لها نفس العرض 887,76 حيث نفترض الانحراف المعياري $\sigma$ للمجتمع ليكون معلوم .

1-2 مجال الثقة الى $\mu$ مع الانحراف المعياري المجهول $\sigma$

نفرض ثانية المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي $X$ (الدخل الصافي للعائلة), حيث الانحراف المعياري مجهول: $X\sim N(\mu ;\sigma )$.

سنسحب العينات العشوائية من الحجم $n=20$. لتحديد مجال الثقة الى $\mu$ يقدر التباين $\sigma ^{2}$ باستعمال $S^{2}$ . يعطى مجال الثقة بواسطة :

$\left[{\bar {x}}-t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}},\quad {\bar {x}}+t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]$

مع درجة الثقة

$P\left({\bar {x}}-t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {x}}+t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

لأجل درجة الثقة المعطاة . نحصل عليها من جداول توزيع-t

$t_{n-1;1-\alpha /2}=t_{19;0,975}=2,093$.

باستبدالها في الأعلى يحصل المرء:

$\left[{\bar {x}}-2,093{\frac {s}{\sqrt {n}}},\quad {\bar {x}}+2,093{\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]$

للعودة للبيانات الواردة في الجدول 1, نحسب المتوسط ${\bar {x}}=48300/20=2415$ والانحراف المعياري $s=1001,065$ ليكون مجال الثقة :

$=[2415-468,51,\quad 2415+468,51]$	$\left[2415-2,093{\frac {1001,065}{\sqrt {20}}},\quad 2415+2,093{\frac {1001,065}{\sqrt {20}}}\right]$
	$=[1946,49,\quad 2883,51]$

يحتوي الجدول 3 متوسط الدخل الصافي للعائلة ${\bar {x}}$, الانحراف المعياري $s$ ومجال الثقة للعينات 25

الجدول 3 : متوسط الدخل الصافي للعائلة ${\bar {x}}$, الانحراف المعياري $s$ , مجال الثقة وعرض المجال للعينات 25 من الحجم $n=20$

$i$	${\bar {x}}$	$s$	$v_{L}$	$v_{U}$	$e$
1	2413,40	1032,150	1930,34	2896,46	966,12
2	2317,00	872,325	1908,74	2825,26	816,52
3	2567,50	1002,008	2098,55	3036,45	937,90
4	2060,90	812,365	1680,71	2441,09	760,38
5	2363,50	1376,648	1719,22	3007,78	1288,56
6	2774,30	1213,779	2206,24	3342,63	1136,12
7	2298,80	843,736	1903,92	2693,68	789,76
8	2241,15	1116,827	1718,46	2763,84	1045,38
9	1915.30	1113,122	1394,35	2436,25	1041,90
10	2062,15	856,069	1661,50	2462,80	801,30
11	2267,75	1065,227	1769,21	2766,29	997,08
12	2163,10	1040,966	1675,92	2650,28	974,36
13	2635,00	1154,294	2094,78	3175,22	1080,44
14	2126,50	1103,508	1610,05	2642,95	1032,90
15	2243,15	1126,913	1715,74	2770,56	1054,82
16	2361,25	1166,260	1815,43	2907,07	1091,64
17	2607,25	848,019	2210,37	3004,13	793,76
18	2319,55	941,236	1879,04	2760,06	881,02
19	2203,85	974,980	1747,55	2660,15	912,60
20	2395,25	899,461	1974,29	2816,21	841,92
21	2659,00	969,720	2205,16	3112,84	907,68
22	2168,50	763,222	1811,31	2525,69	714,38
23	2110,30	1127,608	1582,57	2638,03	1055,46
24	1884,90	928,420	1450,39	2319,41	869,02
25	2415,00	1001,065	1946,49	2883,51	937,02

يظهر الشكل البياني التالي تقديرات النقاط 25 ومجالات الثقة. لغرض التوضيح يشار المتوسط الحقيقي $\mu$ للمجتمع بخط منقطع .

الشكل 2: مجالات التقدير للعينات العشوائية 25 من الحجم $n=20$

في هذه الحالة مجال واحد فقط لا يغطي القيمة الحقيقية للعنصر $\mu$(العينة رقم 24).

من الجدول 3 والشكل 2 من الواضح أن أطوال المجالات تختلف من عينة لأخرى وتكون عندئذ متغيرات عشوائية.

والسبب هو الانحراف المعياري المجهول $\sigma$ للمجتمع والذي يقدر لكل عينة .

توزيع المجتمع المجهول والانحراف المعياري المجهول:

هذه الحالة تحدث كثيرا في الواقع حيث توزيع المتغير العشوائي $X$ والانحراف المعياري $\sigma$ مجهول.

لاستخدام الاجراءات المقترحة, من الضروري حجم العينة $n$ كبير بشكل كافي. لهذا يمكن تطبيق نظرية الحد المركزية . نختار $n=100$

لهذا

$\left[{\bar {x}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}},\quad {\bar {x}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]$

مجال الثقة للعنصر المجهول $\mu$ عند مستوى الثقة التقريبي :

$P\left({\bar {x}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {x}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)\approx 1-\alpha$

ثانية, اذا . تنتج من جداول التوزيع الطبيعي المعياري

$z_{1-\alpha /2}=z_{0.975}=1.96$.

يصور الشكل 3 تقديرات النقاط ومجالات الثقة للعينات العشوائية 50 (مع الاعادة). للتصوير نفرض المتوسط الحقيقي للمجتمع $\mu$ باستعمال الخط المنقطع .

الشكل 3: مجالات الثقة للعينات العشوائية 50 من الحجم $n=100$

نلاحظ ثانية أن عرض المجالات يختلف من عينة لأخرى وتكون متغيرات عشوائية. وهذا بسبب الانحراف المعياري المجهول للمجتمع .