مجال الثقة للمتوسط

مجال الثقة للمتوسط,تحديد مجالات الثقة للتوقع ,المثال الداعم لمجالات الثقة للتوقع ,مثال: مجالات الثقة للتوقع

8.5 مجال الثقة للمتوسط

نفرض المتغير العشوائي $X$ مع التوقع المجهول $E(X)=\mu$ , نريد القيام بتقدير المجال $\mu$ , ندع $X_{1},\ldots ,X_{n}$ نقدم $n$ سحوبات من هذا المجتمع ويعرف بمتوسط العينة.

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

وهو تقدير فعال ومتماسك وغير متحيز الى $\mu$

التباين والانحراف المعياري الى ${\bar {x}}$ يعطى بواسطة (في حالة العينة العشوائية مع الاعادة , شاهد الفصل 7)

$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$

$\sigma ({\bar {x}})={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

لبناء مجال الثقة ثنائي الاتجاه الى $\mu$ :

نبدأ مع المقدر ${\bar {x}}$

يستخدم الانحراف المعياري $\sigma ({\bar {x}})$ لقياس الدقة.

يتطلب ضرب الشعاع $c$ بالانحراف المعياري الى ${\bar {x}}$ للحصول على مجال الثقة المطلوب. لبناء المجال:

$\lbrack V_{u};V_{o}]=[{\bar {x}}-c\cdot \sigma ({\bar {x}}),{\bar {x}}+c\cdot \sigma ({\bar {x}})]$

نقوم بتبديل $\sigma ({\bar {x}})$

$\lbrack V_{u};V_{o}]=\left[{\bar {x}}-c\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+c\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]$

ونكتب المجال الاحتمالي:

$P\left({\bar {x}}-c\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {x}}+c\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

لتحديد $c$ سنحتاج لعمل الفروض لتوزيع البيانات والتي تحدث توزيع ${\bar {x}}$

بالأسفل سنفرض البيانات موزعة بشكل طبيعي بشكل بديل في العينات الكبيرة نعرف بواسطة نظرية الحد المركزية أن ${\bar {x}}$ يقرب للتوزيع الطبيعي سنحتاج للتمييز بين الحالتين:

$\sigma$ معلوم, $\sigma$ مجهول.

مجال الثقة للمتوسط مع التباين المعلوم

المجتمع الموزع بشكل طبيعي

نفرض $X$ موزع بشكل طبيعي مع $E(X)=\mu$ و $Var(X)=\sigma ^{2}$

$X\sim N(\mu ;\sigma ^{2})$

نفرض $\sigma ^{2}$ معلوم والتوقع $\mu$ مجهول. نفرض الشخص يسحب عينة عشوائية من الحجم $n$

المتغيرات العشوائية $X_{1},\ldots ,X_{n}$ موزعة بشكل طبيعي مع $E(X)=\mu$ و $Var(X)=\sigma ^{2}$ :

$X_{i}\sim N(\mu ;\sigma ^{2})\quad {\mbox{ }}\;i$

ينتج لدينا المقدر ${\bar {x}}$ موزع بشكل طبيعي أيضا مع $E({\bar {x}})=\mu$ و $\sigma ^{2}({\bar {x}})=\sigma ^{2}/n$

${\bar {x}}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}({\bar {x}}))$

المتغير العشوائي المعياري:

$z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma ({\bar {X}})}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}$

هو طبيعي معياري $Z\sim N(0,1)$ .

ندع $z_{\alpha /2}$ لتكون $\alpha /2$ و $z_{1-\alpha /2}$ لتكون $(1-\alpha /2)$ للتوزيع الطبيعي المعياري عندئذ:

$P(z_{\alpha /2}\leq Z\leq z_{1-\alpha /2})=1-\alpha$

تناظر التوزيع الطبيعي المعياري يعني أن

$|z_{\alpha /2}|=|z_{1-\alpha /2}|\;{\mbox{ und }}\;z_{\alpha /2}=-z_{1-\alpha /2}$

عندئذ:

$P(-z_{1-\alpha /2}\leq Z\leq z_{1-\alpha /2})=1-\alpha$

لأجل الاحتمال $1-\alpha /2$ المطابق للمقدار $z_{1-\alpha /2}$ موجودة في الجداول الطبيعية المعيارية.

بعد استبدال $Z$ سنعزل $\mu$ في منتصف مجال الثقة كالتالي :

$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha$

$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq {\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha$

$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq {\bar {X}}-\mu \leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

$P\left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

ينتج المجال الاحتمالي الأخير مجال الثقة الى $\mu$ الثابت المضروب بالانحراف المعياري الى يعطى بواسطة:

$[{\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};\quad {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]$

خواص مجال الثقة

يبنى مجال الثقة فوق على الاحتمالات المتساوية لكل طرف

$P\left(\mu <{\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)={\frac {\alpha }{2}}\quad P\left({\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}<\mu \right)={\frac {\alpha }{2}}$

التناظر في توزيع $z$ نتائج في مجال الثقة المتناظر حول ${\bar {x}}$

لا يعتمد طول مجال الثقة

$\left({\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)-\left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=2z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

على القيم الفعلية $x_{1},\ldots ,x_{n}$ لأجل $\sigma$ , $n$

$1-\alpha$ المعطاة يحصل المرء على مجالات تقدير مختلفة من عينة لأخرى. على أية حال كل مجالات التقدير هذه لها نفس الطول الثابت.

يعتمد عرض مجال الثقة على الانحراف المعياري $\sigma$ ,

للمجتمع, حجم العينة $n$ والمقدار $z_{1-\alpha /2}$ لدرجة الثقة المعطاة .

زيادة الانحراف المعياري $\sigma$ سيسبب زيادة عرض مجال الثقة, زيادة درجة الثقة $1-\alpha$

سيسبب زيادة في عرض مجال الثقة, زيادة حجم العينة $n$ سيسبب زيادة دقة التقدير وعندئذ تضييق مجال الثقة .

اذا توزيع المجتمع مجهول والتباين معلوم عندئذ بواسطة نظرية الحد المركزية يقرب ${\bar {x}}$ للتوزيع الطبيعي في هذه الحالة سيشاهد مجال الثقة فوق كتقريب .

مجال الثقة للمتوسط مع التباين المجهول

التوزيع الطبيعي في المجتمع

كما افترضنا من قبل

و

${\bar {x}}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}({\bar {x}}))$

سنحتاج ثانية المتغير العشوائي الذي يعتمد فقط على العنصر المجهول $\mu$ المتغير العشوائي المعياري $z$ لن يعمل لأنه يتطلب لنا معرفة $\sigma ^{2}$ نفرض التباين $\sigma ^{2}$ يقدر باستعمال