المثال الداعم لمجالات الثقة للتوقع

يحتاج قسم التسويق لمصنع المصابيح الكهربائية القيم لمتوسطات الزمن لعمر مصباح معين.

• بالطبع ليس ممكنا أخذ العينة لكامل المجتمع لذلك لتحديد عمر المصابيح حتى استهلاك المصباح. عندئذ

نحتاج لسحب العينة من المجتمع.

• لضمان العينة تمثل المجتمع نسحب عينة عشوائية.

• سحب العينة العشوائية مع الاعادة ليس ممكنا لما تقاس أعمار المصابيح, عندما المصباح معطل حيث

الانتاج الاجمالي كبير الى حد ما. في الحقيقة يأخذ المرء العينات بدون اعادة والتي ليس لها تأثير كبير على التوزيع .

• نحن مهتمون بتقدير النقطة للمتوسط المجهول $\mu$ متوسط عمر المصباح كمجال ثقة متناظر مع درجة الثقة

• لا التباين $\sigma ^{2}$ ولا توزيع المتغير العشوائي $X$ = {عمر المصباح} معلوم. ونفرض حجم العينة $n$ كبير بشكل كافي حيث نستطيع استعمال مجال الثقة التقريبي:

$\left[{\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}};\quad {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]$

مع مستوى الثقة التقريبي المطابق .

$P\left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)\approx 1-\alpha$

عند درجة الثقة المعطاة ينبغي على المرء استعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري للحصول: $z_{1-\alpha /2}=z_{0,975}=1,96$.

• توجد مفاضلة بين دقة التقريب وتكلفة العينة. نختار $n=50$

تنتج العينة المعينة نقاط التقدير التالية:

متوسط عمر المصباح في العينة${\bar {x}}$ : 1600 ساعة

التباين في العينة $s^{2}$:

8100 ساعة .

الانحراف المعياري في العينة $s$:

90 ساعة.

يعطى مجال الثقة بواسطة:

$=[1600-24,95;\;1600+24,95]$	$\left[1600-1,96{\frac {90}{\sqrt {50}}};\quad 1600+1,96{\frac {90}{\sqrt {50}}}\right]$
	$=[1575,05;\;1624,95]$

نختار درجة ثقة عالية ( في هذه الحالة 0.95 ) لضمان أن مجالات الثقة الناتجة تحتوي كل قيم العناصر الحقيقية باحتمال عالي.

من زاوية التسويق ومراقبة الجودة, من المهم عمر المصباح المعلن يبلغ أو يتجاوز الاحتمال العالي. لهذا

المرء مهتم بمجال الثقة أحادي الجانب له الصيغة:

$P\left({\bar {X}}-z_{1-\alpha }{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \right)=1-\alpha =0,95$

حيث نحصل على $z_{1-\alpha }=z_{0,95}=1,645$. من جداول التوزيع الطبيعي المعياري.

باستعمال البيانات السابقة نحصل على:

$v_{u}=1600-1,645\cdot {\frac {90}{\sqrt {50}}}=1600-20,94=1579,06{\mbox{ }}$

ومجال التقدير أحادي الجانب المطابق هو:

$\lbrack 1579,06;\;+\infty )$