نظرية الحد المركزية

نظرية الحد المركزية, المثال التوضيحي,المعلومات لنظرية الحد المركزية

6.8 نظرية النهاية المركزية

خاصة واحدة للتوزيع الطبيعي بأن مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة مع التوزيع الطبيعي تكون موزعة توزيعا طبيعيا. تبقى هذه الخاصة صحيحة لأي قيمة من n.

اذا المتغيرات العشوائية ليست موزعة توزيعا طبيعيا, عندئذ هذه الخاصة ليست صحيحة بشكل تام لكنها تبقى صحيحة بشكل تقريبي عند حجم n كبيرة.

لدينا: المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مستقل والمتماثلة مع = () E

و = ( ) Var لأجل i=1,....nعندئذ مجموع هذه المتغيرات العشوائية لأجل n كبيرة توزع بشكل طبيعي تقريبا:

$E(X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n})=n\mu$

$Var(X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n})=n\sigma ^{2}$

$X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}\approx N(n\mu ,\;n\sigma ^{2})$,

حيث يعني التقريب لأجل n كبيرة.

لدينا: المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مستقل والمتماثلة مع = () E و = ( ) Var لأجل i=1,....n عندئذ

الوسط الحسابي لهذه المتغيرات العشوائية لأجل n كبيرة توزع بشكل طبيعي تقريبا.

تتطلب هذه النتيجة بأن لا أحد من المتغيرات العشوائية مسؤول عن أغلب التباين.

يعتمد التوزيع ( ) N على العدد المحدد n و لأجل n غير نهائية سيكون عنده قيمة متوقعة غير نهائية و تباين غير نهائي.

يوصف معنى هذه النظرية بشكل واضح اذا نستعمل المجاميع المعيارية للمتغيرات العشوائية.

نظرية النهاية المركزية

لدينا: المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مستقل ومتماثل :

= () E

= ( ) Var

عندئذ تابع التوزيع من

يقترب n ليكون التوزيع الطبيعي المعياري :

يوزع المتغير العشوائي المعياري بشكل تقريبي كتوزيع طبيعي معياري: