المفاهيم الأساسية

المفاهيم الأساسية,تكملة المفاهيم الأساسية,المعلومات : اختبار الفرضيات باستعمال البرمجيات الاحصائية

9.1 المفاهيم الأساسية

الاختبارات الاحصائية هي أدوات لتحليل الفرضيات حول خواص التوزيعات الاحتمالية المجهولة أو العلاقات

بين المتغيرات العشوائية. اذا التوزيع الاحتمالي معين لمجموعة محددة من العناصر , الاختبار لكامل الكثافة

الاحتمالية المعينة فيما اذا تأخذ العناصر قيمة معينة , كتعيين رياضي لرتبة التوزيعات الاحتمالية

التي تتضمن كتابة التوابع التي تحتوي العناصر , حيث القيم غير معروفة مسبقا , تبنى الاختبارات على

العناصر المفترضة التي تحدد خواص التوزيع الاحتمالي باختبارات رقمية.

تستخدم اجراءات التقدير الاحصائي للحصول على تقديرات العناصر المحددة , تزود نظرية الاختبار الاحصائي

كوسيلة لتحديد أهمية هذه التقديرات , أخيرا فيما يتعلق باختيار قيمة العنصر هو اختيار رتبة

التوزيعات الاحتمالية . بالعموم اختيار رتبة التابع كالتوزيع الطبيعي وتقدير واختيار العناصر كاجراءات تكرارية .

سيعتبر الباحثون النماذج المتنوعة (التوزيعات البديلة) في المرحلة الاستكشافية للتحقيق في طبيعة الظواهر .

على أية حال, الكثير من النماذج الاحتمالية المعينة المختارة سابقا , لمعرفة منشائها بدلا من الأساس النظري .

عندما الرتبة المفترضة للتوزيعات الاحتمالية هي النظرية المشتقة التي هي نتيجة التعليم المنطقي من الاجراءات المقبولة.

بشكل الاختبار لأجل دلالة العناصر جزء هام من النظرية العلمية.

يمكن تلخيص هدف اجراءات اختبار الفرضيات الاحصائية العددية كالتالي:

نعطي مجتمع معين مع تابع التوزيع العددي $F(x)$ مع العناصر كالقيمة المتوقعة $\mu$ والتباين $\sigma ^{2}$ في حالة التوزيعات الطبيعية أو النسبة $\pi$ في حالة تجربة بيرنولي.

تختبر بعض الفرضيات حول قيم العناصر الحقيقية على قاعدة العينة المشاهدة لحجم محدد , بشكل واضح ليس

هذا ضروريا اذا لاحظ الشخص المتغير العشوائي تحت اعتبار كل عناصر المجتمع (بالطبع ليس هذا ممكنا نظريا

للمتغيرات العشوائية المستمرة) حيث تضم التوزيعات المستمرة العديد من النتائج الممكنة اللا نهائية ,

بالعموم لا تنقل العينات كل المعلومات الضرورية للوصف الدقيق للتوزيع (وتكون نتيجة اجراءات العينة

العشوائية , لذلك قيم عناصرهم المطبقة تحدد بواسطة اجراءات التقدير الاحصائية التي تتم مع بيانات

العينة) لذلك تكون متغيرات عشوائية .

غالبا ستساوي هذه التقديرات قيمة عنصر المجتمع الصحيح بالمتوسط ولحسن الحظ توفر الاختبارات الاحصائية

معيار مناسب يسمح لنا لقياس وتقييم فيما اذا الفرق بين العينة المحددة (بمعنى المقدرة احصائيا)

وقيم العناصر النظرية لها دلالة احصائية. بشكل مختصر: نقدر فيما قيمة عنصرنا النظرية تقرب

بشكل كافي لقيمة العنصر المقدر لأجل اجراء العينة التي تسبب الاختلاف فيما اذا عددين (أو شعاعين على التوالي).

لا يمكن اصلاحهما حتى يسمح بأخذ اجراء العينات.

ومن أجل وضع المشكلة المحققة فوق بصورة موضوعية على قاعدة الأسس النظرية , توضع الاختبارات الاحصائية

لمعالجة المشاكل والتي تقودنا للاعتماد على التقييمات الذاتية سنحتاج الأسئلة التي تتضمن:

• ماهي الصياغة الصحيحة للفرضيات الفعلية بصيغ رياضية ؟

• كيف تتركز البيانات ؟(بمعنى أي الاحصاءات أو التقديرات تستخدم).

• ما هو الفرق للبيانات المجمعة من التركيب المتضمن بواسطة الفرضيات المحددة ؟ (بمعنى أي تعبير سيستخدم

لاختبارنا الاحصائي).

• ما هو الفرق المحدد لتقسيم العبارات النظرية ؟ عندما الفرق له دلالة صحيحة (بمعنى ما هو توزيع اختبارنا الاحصائي ؟)

لتقديم الهدف الموضوعي للتحقق من الفرضيات (نعطي الافتراضات المعينة حول درجة التابع للتوزيعات).

نحصل على المفاهيم الأساسية والعبارات للاختبارات الاحصائية باعتبار مثال للاختيار العددي.

ندع $\vartheta$ لتكون عنصر تابع التوزيع للمتغير العشوائي $X$ قيمته

الحقيقية مجهولة لكن نستطيع تحديد فضاء العنصر الذي هو مجموعة من القيم الممكنة.

صياغة الفرضيات

تظهر الفرضيات العلاقة بين العنصر الحقيقي $\vartheta$ والقيمة النظرية $\vartheta _{0}$ .

تصاغ عادة زوج الفرضيات: الفرضية الابتدائية (الصفرية) $H_{0}$ والفرضية البديلة $H_{1}$

تكون الفرضية الابتدائية الصيغة الاحصائية للاختبار , لهذا يجب صياغتها بطريقة الاختبارات الاحصائية.

أحيانا تختبر الفرضيات العلمية بشكل مباشر , لكن في العموم ستحول العبارات العلمية للفرضيات

الابتدائية الاحصائية , في عدة حالات ستكون الفرضية الابتدائية موضوع الحديث حول الاختبار.

هنا بسبب الخواص المعينة للاختبارات الاحصائية العددية والتي ستعالج فيما بعد.

العلاقة بين العنصر الحقيقي $\vartheta$ والقيمة النظرية $\vartheta _{0}$ تذكر

بأن قيم العناصر المشتركة لكلا الفرضتين الصفرية والبديلة تتعلق بكامل فضاء العينة, بشكل واضح

تغير الفرضية البديلة كبديل للفرضية الابتدائية.

هنا البدائل الممكنة:

	الفرضيات الصفرية	الفرضيات البديلة
a) الاختبار ثنائي الجانب	$\,H_{0}:\theta =\theta _{0}$	$H_{1}:\theta \neq \theta _{0}$
b) الاختبار أحادي الجانب
الاختبار أحادي الجانب الأيمن	$H_{0}:\theta \leq \theta _{0}$	$\,H_{1}:\theta >\theta _{0}$
الاختبار أحادي الجانب الأيسر	$\,H_{0}:\theta \geq \theta _{0}$	$\,H_{1}:\theta <\theta _{0}$

تدعى الفرضيات ثنائية الاتجاه بالفرضيات البسيطة , لأن مجموعة عناصر الفرضيات الصفرية تحتوي على

قيمة واحدة بالضبط , بالنسبة للفرضيات البديلة الانحرافات عن القيمة النظرية $\theta _{0}$ في كلا الاتجاهين متعلق بصحة الفرضيات, لهذا يشار لها بثنائية الاتجاه.

فرضيات الاختبارات الأحادية الجانب تحت تعود لرتبة الفرضيات المركبة. تشير المركبة لمجموعة العناصر

للفرضيات الصفرية التي تتكون من أكثر من قيمة ولذلك عدم رفض الفرضية الصفرية لن يحدد

بالكامل تابع التوزيع لهذا توجد مجموعة من قيم العناصر التي لم ترفض.

الفرضيات الأحادية الجانب بسبب الانحراف عن قيمة العنصر النظرية في اتجاه واحد فقط . يمكن أن يلغي

الفرضيات الصفرية التي تعتمد على اتجاه هذه الاختبارات سواء بالاتجاه الأيمن أو الأيسر.

بشكل واضح تصاغ المشكلة العلمية بعبارات احصائية تحدد اذا الاختبار سيطبق .

نلاحظ بعض المبادئ الهامة لصياغة الفرضيات :

• اجراءات الاختبار الاحصائي " الاختبار" (بمعنى الرفض أو القبول) للفرضيات الصفرية.

• تكون الفرضيات الصفرية والبديلة منفصلة , لهذا فضاء عناصرهم لا يحتوي نفس القيمة .

• تشمل مجموعات العناصر قيمة واحدة بالضبط ستعود دائما للفرضيات الصفرية.

الاختبار الاحصائي

لترتيب الاجراءات فوق , نحتاج لبناء قرارنا , نحتاج للتقدير المناسب لاستخلاص المعلومات المطلوبة

لمقارنة قيم العنصر النظرية مع قيم عناصر العينة المحددة .

اذا استخدم المقدر لتحقيق الكمية ضمن اجراء الاختبار الاحصائي , ندعوه بالاختبار الاحصائي , سنشير للاختبار الاحصائي بواسطة التابع:

$V=V\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)$

هو تابع $V$ متغيرات العينة $X_{1},\ldots ,X_{n}$ وهي نفسها المتغير العشوائي مع التوزيع $F(v)$.

لاجراء الاختبار الاحصائي, توزيع $V$ لأجل الفرضيات الصفرية معلوم , لهذا

نعتبر $F(v)$. كشرط معطى للفرضيات الصفرية: $F\left(v|H_{0}\right)$.

ولهذا في حالة الاختبار العددي , هذا يعني أن توزيع الاختبار الاحصائي يعتمد على العنصر المجهول $\theta$ : $F(v|\theta )$.

لتحديد هذا التوزيع , يحدد العنصر $\theta$ بشكل عددي ولكن المعلومات السابقة فقط حول $\theta$ هي القيمة النظرية $\theta _{0}$.

لهذا سنفرض الأن $\theta _{0}$ كقيمة العنصر الحقيقي في المجتمع. بمعنى: $\theta =\theta _{0}$.

في الاختبار ثنائي الجانب ينعكس هذا الفرض بدقة على الفرضية الصفرية . في الاختبار الأحادي الجانب تعود القيمة $\theta _{0}$ للفرضية الصفرية لسبب واحد, لماذا المساواة. بمعنى : $\theta =\theta _{0}$ .

تعود دائما لفضاء العنصر للفرضية الصفرية , لأجل كل الاختبارات الممكنة الثلاثة سنفرض لذلك الاختبار الاحصائي $V$ له التوزيع مع العنصر $\theta _{0}$ تحت شرط الفرضية الصفرية .

ملاحظة المتغير العشوائي تحت اعتبار المشاهدات الاحصائية $n$ تنتج العينة $x_{1},\ldots ,x_{n}$, وضع هذه القيم

الفعلية في الاختبار الاحصائي , يعطي القيمة الفعلية لقيمة الاختبار الاحصائي $v=v(x_{1},\ldots ,x_{n})$, .

قرار المجالات ومستوى الدلالة

باعتبار المتغير العشوائي , يأخذ الاختبار الاحصائي $V$ واحدة من القيم الممكنة المتعددة ,

اذا الاختبار الاحصائي لعينة معطاة يقترب بشكل كافي لقيمة العنصر النظرية , يمكن اعتبار الاختلاف

بالعشوائي , في هذه الحالة لن ترفض الفرضية الصفرية , هذا لا يعني أن الفرضية الصفرية صحيحة أو مقبولة.

وحينئذ $\theta _{0}$ هي قيمة العنصر الحقيقية , الحالة المسموح بها باعطاء العينة و لا يمكن استبعاد درجة الثقة المعينة ,

حيث يتبع المجتمع التوزيع المحدد بواسطة قيمة العنصر $\theta _{0}$.

تصنع الاختلافات الكبيرة للاختبار الاحصائي عن قيمة العنصر النظرية الفرضية الصفرية بأنها مقنعة.

في هذا الوضع يمكن توليد العينة بشكل جيد بواسطة المجتمع الموزع طبقا لقيم العنصر المقترحة في الفرضية البديلة .

نقول من غير المحتمل المجتمع يتبع التوزيع الاحتمالي المعين الذي تم توليده في العينة المشاهدة .

تتبع هذه الافتراضات مجموعة قيم الاختبار الاحصائي الممكنة تنقسم لمجالين منفصلين , تعكس اذا العينة

المشاهدة يمكن تسويتها مع الفرضية الابتدائية لأجل مستوى معطى من الاحتمالية (مجال عدم الرفض) أو (مجال الرفض).

مجال عدم الرفض للفرضية الصفرية

مجال عدم الرفض للفرضية $H_{0}$, هو مجموعة النتائج الممكنة للاختبار الاحصائي والذي يقود لقرار أخذ $H_{0}$, بمعنى عدم الرفض للفرضية $H_{0}$.

مجال الرفض للفرضية الصفرية

مجال الرفض ( أو المجال الحرج ) لأجل الفرضية $H_{0}$ يشمل كل النتائج الممكنة للاختبار الاحصائي والذي يقود لرفض الفرضية $H_{0}$ .

مجالات الرفض أو عدم الرفض للفرضية $H_{0}$ من تركيبات منفصلة وشاملة لكل النتائج الممكنة للاختبار الاحصائي.

اذا النتائج لها قيم حقيقية , توجد العبارة "القيم الحرجة" التي تقسم الخط الحقيقي لمجالات الرفض وعدم الرفض .

تعود القيم الحرجة لمجال عدم الرفض للحصول على القرار , تحسب هذه القيم الحرجة ويتم ذلك باستخدام نظرية الاحتمال.

الاحتمال , يعني أي عينة تحرض الاختبار لرفض $H_{0}$, تعطي الفرضية الصفرية القيمة الحقيقة (بمعنى : تقع قيمة العنصر الحقيقي ضمن المجال في الفرضية الصفرية).

لا يجب أن تكون أكبر من درجة الثقة $\alpha$:

$P(V{\mbox{ is element of rejection region for }}H_{0}|\theta _{0})\leq \alpha$

وفقا لذلك , احتمال $V$ بفرض القيمة في مجال عدم الرفض , عندما نحسب $V$ من العينة المسحوبة من المجتمع مع العنصر $\theta _{0}$هو على الأقل $1-\alpha$:

$P(V{\mbox{ is element of non- rejection region associated with }}H_{0}|\theta _{0})\geq \alpha$

نعطي الاحتمال $a$ , تشتق القيم الحرجة من التوزيع الاحتمالي الشرطي للاختبار الاحصائي $F(v|H_{0})$

يساعدنا هذا لفهم لماذا توزيع الاختبار الاحصائي يعطي $H_{0}$ صحيحة ومعلومة.

كالاحتمال $a$ , يحدد اذا العينة المعطاة تنحرف بشكل دلالي عن القيمة المتوضعة بواسطة مجموعة العناصر النظرية.

وتدعى بمستوى الدلالة , نختار مستوى الدلالة ليكون صغير حيث الفرضية الصفرية ترفض فقط , اذا

العينة من غير الممكن أن تنشأ من التوزيع النظري .بشكل عام اما 0,01, o,o5 أو 0,10

سنشتق الأن مجالات القرار لأجل الاختبارات الثلاثة والتي عرضت مسبقا لأجل مستوى الدلالة المعطاة $\alpha$. وبفرض صحة $H_{0}$ , وماذا سينتج في الأسفل , نفرض $V$ له التوزيع الطبيعي.

الاختبار ثنائي الجانب:

$H_{0}:\theta =\theta _{0}\qquad H_{1}:\theta \neq \theta _{0}$

مجال الرفض لأجل $H_{0}$:

في الاختبار الثنائي الجانب , يبنى مجال الرفض من مجموعتين (منطقتين) كانحرافات تابع العينة عن قيمة العنصر النظرية $\vartheta _{0}$ في اتجاهين.

يفصل مجال عدم الرفض (القبول) عن مجالي الرفض بواسطة القيمتين الحرجتين $c_{u}$ و $c_{o}$

يتألف مجال الرفض من كل القيم الفعلية $v$ للاختبار الاحصائي $V$ أصغر من القيمة الحرجة الدنيا $c_{u}$ أو أكبر من القيمة الحرجة العليا $c_{o}$.

$\left\{v|v<c_{u}\;{\mbox{or }}\;v>c_{o}\right\}$

الاحتمال المركب للعينة هو القيمة من مجال الرفض نعطي $H_{0}$, وتساوي لمستوى الدلالة المعطاة $\alpha$:

$P\left(V<c_{u}|\vartheta _{0}\right)+P\left(V>c_{o}|\vartheta _{0}\right)=\alpha /2+\alpha /2=\alpha$

مجال عدم الرفض لأجل $H_{0}$:

يبنى مجال عدم الرفض لأجل $H_{0}$ من كل القيم الممكنة $v$ للاختبار الاحصائي $V$ أصغر من (أو يساوي الى) القيمة الحرجة العليا $c_{u}$, وأكبر من (أو يساوي الى) للقيمة الحرجة الدنيا $c_{o}$

$\left\{c_{u}\leq v\leq c_{o}\right\}$

احتمال قيمة الاختبار الاحصائي ضمن مجال الرفض , باعطاء $\vartheta _{0}$ صحيحة $\left(1-\alpha \right)$

$P\left\{c_{u}\leq V\leq c_{o}\;|\;\theta _{0}\right\}=\left(1-\alpha \right)$

مجال الرفض $H_{0}$ | مجال القبول $H_{0}$ | مجال الرفض$H_{0}$

الاختبار أحادي الجانب:

بالتصميم, يوجد بالضبط مجال حرج واحد مرتبط مع الاختيارات الأحادية الجانب, يكون انحرافات الاختبارات الاحصائية عن قيمة العنصر النظرية بشكل "دلالي" فقط في اتجاه واحد.

تقسم القيمة الحرجة مجالات الرفض وعدم الرفض وتشار بواسطة $c$:

الاختبار الأحادي الجانب اليساري :

$H_{0}:\theta \geq \theta _{0}\qquad H_{1}:\theta <\theta _{0}$

مجال الرفض الى $H_{0}$:

يتألف مجال الرفض لأجل $H_{0}$: من القيم الفعلية $v$ للاختبار الاحصائي $V$ وأصغر من $c$ :

$\left\{v\,|\;v<c\right\}$

يفترض احتمال الاختبار الاحصائي القيمة من مجال الرفض , باعطاء $H_{0}$ صحيحة , أقل من أو تساوي الى مستوى الدلالة $\alpha$.

$P\left\{V<c\;|\;\vartheta _{0}\right\}\leq \alpha$

مجال عدم الرفض لأجل $H_{0}$:

يبنى مجال عدم الرفض لأجل $H_{0}$ من كل القيم $v$ للاختبار الاحصائي $V$ أكبر من أو تساوي الى $c$:

$\left\{v\;|\;v\geq c\right\}$

يفرض احتمال الاختبار الاحصائي القيمة ضمن مجال عدم الرفض باعطاء $H_{0}$ صحيحة على الأقل : $\left(1-\alpha \right)$

$P\left\{V\geq c\;|\;\vartheta _{0}\right\}\geq 1-\alpha$

مجال القبول $H_{0}$ | مجال الرفض $H_{0}$

الاختبار الأحادي الجانب اليمني :

$H_{0}:\vartheta \leq \vartheta _{0}\qquad H_{1}:\vartheta >\vartheta _{0}$

مجال الرفض الى $H_{0}$:

يتألف مجال الرفض الى $H_{0}$ من كل القيم $v$ للاختبار الاحصائي $V$ أكبر من $c$ :

$\left\{v\;|\;v>c\right\}$

يقع الاحتمال $v$ في مجال الرفض , نعطي: $H_{0}$ صحيحة تكون أقل من أو تساوي لمستوى الدلالة المعطاة $\alpha$ المختارة :

$P\left\{V>c\;|\;\vartheta _{0}\right\}\leq \alpha$

مجال عدم الرفض لأجل $H_{0}$:

مجال عدم الرفض لأجل $H_{0}$ هو مجموعة من قيم الاختبار الاحصائي $v$ أقل من أو تساوي الى $c$:

$\left\{v\;|\;v\leq c\right\}$

يفترض الاحتمال $v$ القيمة من مجال عدم الرفض , باعطاء $H_{0}$ صحيحة أكبر من أو تساوي الى $1-\alpha$ :

$P\left\{V\leq c\;|\;\vartheta _{0}\right\}\geq 1-\alpha$

مجال الرفض $H_{0}$ | مجال القبول$H_{0}$

كاختبارات احصائية مبنية على العينات المنتهية من المجتمع , تتعلق القرارات الخاطئة بأن قيم العناصر للتوزيع لا يمكن استبعادها.

اعتمادا على القيمة الفعلية $v$ للاختبار الاحصائي.ستكون الفرضية الصفرية اما مقبولة أو مرفوضة , سنرمز هذا كالتالي :

"$H_{0}$" لا يرفض الاختبار الفرضية الصفرية.

"$H_{1}$" يرفض الاختبار الفرضية الصفرية.

بغض النظر عن القرارين الناتجين من قاعدة العينات العملية , توجد امكانيتين لذلك :

$H_{0}$ الفرضية الصفرية صحيحة .

$H_{1}$ الفرضية الصفرية خاطئة بمعنى الفرضية البديلة صحيحة .

ينتج الجدول التالي التركيبات الممكنة لقرارات الاختبار والوضع الصحيح :

قرار الاختبار	العنصر الصحيح في المجتمع
	$H_{0}$ الفرضية الصفرية صحيحة	$H_{0}$ الفرضية الصفرية خاطئة ($H_{1}$ الفرضية البديلة صحيحة)
لا يرفض الاختبار $H_{0}$ "$H_{0}$"	القرار الصحيح "$H_{0}$"|$H_{0}$ $P\left(H_{0}^{\prime }|H_{0}\right)=1-\alpha$	الخطأ من النوع الثاني $H_{0}|H_{1}$ $P\left(H_{0}|H_{1}\right)=\beta$
$H_{0}$ يرفض الاختبار "$H_{1}$"	الخطأ من النوع الأول $H_{1}^{\prime }|H_{0}$ $P\left(H_{1}^{\prime }|H_{0}\right)=\alpha$	القرار الصحيح $H_{1}^{\prime }|H_{1}$ $P\left(H_{1}^{\prime }|H_{1}\right)=1-\alpha$