تكملة المفاهيم الأساسية

الفرضية الصفرية صحيحة :

دعنا نختبر أولا طبيعة القرار الصحيح والخاطئ الناتج باعطاء الفرضية الصفرية $H_{0}$ الصحيحة.

يحسب الاختبار الاحصائي باستعمال العينة المشاهدة والتي لا تبتعد كثيرا عن قيمة العنصر المفروض $\vartheta _{0}$ .

وفي الواقع , أن نطاق الاختبارات الاحصائية للتقدير المعقول لهذه الانحرافات في عبارات ذات دلالة

نقدر اذا الانحراف كبير من الناحية الاحصائية , ولكن نفرض للحظة أن الانحراف كبير في الاختبار الاحصائي

تقع قيم $v$ في مجال الرفض , بالتالي تخلق قاعدة القرار لأجل الاختبار , ستكون الفرضية الصفرية مرفوضة

لكن لا يؤثر قرارانا على عملية توليد البيانات الصحيحة . وبالتالي عملنا الخطأ الذي توقعنا عمله مع الاحتمال $\alpha$ (عندما فرضنا الصفرية صحيحة).

يشار لهذا الخطأ بالخطأ من النوع الأول أو خطأ $\alpha$, نضع الاحتمال $\alpha$

$P\left(H_{1}|H_{0}\right)=\alpha$

كعنصر , مستوى الدلالة , بالرغم اختلاف مستوى الدلالة $\alpha$ , لا نستطيع منع حدوث الخطأ من النوع الأول (الذي سيحدث مع الاحتمال $\alpha$ )

نضع $\alpha$ مساوية للصفر حتى لا نرفض الفرضية الصفرية , ولا نرفض الفرضية الصفرية المعطاة التي تصف الواقع بدقة.

احتمال اتخاذ القرار الصحيح , تكون الفرضية الصفرية صحيحة وتحسب كالتالي:

$P($"$H_{0}$"$|H_{0})=1-\alpha$

لا يرفض الاختبار الفرضية الصفرية المعطاة بالرغم أنها صحيحة والتي تساوي 1

الفرضية البديلة صحيحة :

ما هو القرار الصحيح والخاطئ الناتج عندما تتضمن الفرضية البديلة العنصر الصحيح .

اذا حسب الاختبار الاحصائي من العينة المشاهدة والتي لها انحراف صغير عن قيمة العنصر $\vartheta _{0}$ , المفروض في الفرضية الصفرية .

ستسبب قاعدة القرار عدم رفض الفرضية الصفرية $H_{0}$, لدينا الأن الافتراض: $H_{1}$ صحيحة بالرغم معرفتنا لها خاطئة

("$H_{0}$" |$H_{1}$)

هذه النتيجة (عدم رفض الفرضية الصفرية الخاطئة ) ويعرف ذلك بخطأ النوع الثاني أو خطأ $\beta$

كما في حالة الوضع المسمى : خطأ $\alpha$ لايمكننا استبعاد خطأ $\beta$

$P\left(H_{0}|H_{1}\right)=\beta \left(\vartheta _{1}\right)$

وهذا يحدث مع الاحتمال الذي يعطي الفرضية البديلة صحيحة وتصف الواقع.

نلاحظ تعتمد $\beta$ على قيمة العنصر الصحيح $\vartheta _{1}$ وهذا لا يكشف لنا و لا نستطيع حساب هذا الاحتمال.

بالطبع , احتمال قاعدة القرار تسبب لنا عمل القرار الصحيح بمعنى نرفض $H_{0}$ عندما الفرضية البديلة صحيحة, الاحتمال الشرطي لحدوث هذا:

$P\left(H_{1}|H_{1}\right)=1-\beta \left(\vartheta _{1}\right)$

يعتمد الاحتمال $\beta (\vartheta _{1})$ لعمل الخطأ من النوع الثاني على مستوى الدلالة $\alpha$ المعطاة , نقصان $\alpha$ , لأجل حجم العينة الثابت $n$

سينتج الاحتمال المتزايد لأجل خطأ $\beta$ والعكس بالعكس , وهذا الخطأ لا يمكن التغلب عليه. توضح هذه المشكلة في الشكلين البيانين:

رفض $H_{0}$| عدم رفض $H_{0}$

رفض $H_{0}$|عدم رفض $H_{0}$

كما ذكرنا سابقا , يعتمد احتمال حدوث خطأ النوع الثاني أيضا على القيمة الصحيحة للعنصر المختبر باعطاء حجم العينة الثابت $n$ ومستولى الدلالة $\alpha$, يتعلق البعد بين $\vartheta _{1}$ و $\vartheta _{0}$ العكسي الى $\beta (\vartheta _{1})$

كبر هذا البعد و صغر احتمال حدوث خطأ النوع الثاني عندما الفرضية البديلة صحيحة. يظهر الشكلين التاليين الاختبار الاحصائي $V$ وله التوزيع الطبيعي

رفض $H_{0}$|عدم رفض $H_{0}$

رفض $H_{0}$|عدم رفض $H_{0}$

قوة الاختبار

احتمال رفض الفرضية الصفرية كتابع لكل قيم العنصر الممكنة (ذلك يعني للفرضيات الصفرية والبديلة ) تدعى بقوة الاختبار ويشار له $G(\vartheta )$ :

$G(\vartheta )=P\left(V{\mbox{ is element of the rejection region for }}H_{0}\;|\;\vartheta \right)=P\left(H_{1}|\vartheta \right)$

عنصر مجال الرفض لأجل

اذا العنصر الصحيح $\vartheta$ هو عنصر المجموعة الثانوية لفضاء العنصر في الفرضية البديلة

يعمل القرار الصحيح ("$H_{1}$" | $H_{1}$) , حينئذ لأجل كل قيم العنصر الصحيح $\vartheta$ التي توافق معالفرضية البديلة

تقيس قوة الاختبار احتمال الرفض الصحيح للفرضية الصفرية (وبالتوالي : عدم الرفض الصحيح للفرضية البديلة )

$G(\vartheta )=P\left(H_{1}|H_{1}\right)=1-\beta \left(\vartheta \right)\quad$

حيث $\vartheta _{1}$ المجموعة الثانوية لفضاء العنصر (فضاء العنصر هو مجموعة كل العناصر $\vartheta$ ) محددة بواسطة الفرضية البديلة.

اذا العنصر الصحيح يساوي $\vartheta _{0}$, مجموعة القيم تحت الفرضية الصفرية , يعيد قوة الاختبار احتمال عمل القرار الخاطئ.

بمعنى احتمال الموقف ("$H_{1}$"|$H_{0}$). , أي احتمال عمل خطأ النوع الأول أو خطأ $\alpha$

$G(\vartheta )=P\left(H_{1}|H_{1}\right)=1-\beta \left(\vartheta \right)\quad$ für alle $\vartheta$ Element von $\vartheta _{1}$

حيث $\vartheta _{0}$ المجموعة الثانوية لفضاء العنصر المحدد بواسطة الفرضية الصفرية.

منحنى OC

خاصية التشغيل (منحنى OC ) مساوية الى $1-G(\vartheta )$ وهو يزود احتمال عدم رفض الفرضية الصفرية كتابع لكل $\vartheta$ الممكنة.

$1-G(\vartheta )=P({\mbox{V is element of the non-rejection region for }}H_{0}|\vartheta )=P({H}_{0}|\vartheta )$

اذا العنصر الصحيح $\vartheta$ هو عنصر من المجموعة الثانوية لفضاء العنصر المتعلق مع الفرضية البديلة

تعين خاصة التشغيل احتمال عمل القرار الخاطئ ("$H_{0}$" | $H_{1}$) ذلك يعني , احتمال عمل خطأ النوع الثاني:

$1-G(\vartheta )=P(H_{0}|H_{1})=\beta (\vartheta ){\mbox{ }}\vartheta {\mbox{ }}\theta _{1}$

حيث $\vartheta _{1}$ , المجموعة الثانوية للعناصر المحددة بواسطة الفرضية البديلة .

ومن جهة أخرى , العنصر الصحيح في المجموعة الثانوية للقيم المحددة بواسطة الفرضية الصفرية , تقيس خاصة التشغيل احتمال الموقف ("$H_{0}$"|$H_{0}$).

بمعنى : عمل القرار الصحيح بعدم رفض الفرضية الصفرية :

$1-G(\vartheta )=P(H_{0}|H_{0})\geq 1-\alpha {\mbox{ }}\vartheta {\mbox{ }}\theta _{0}$

حيث $\vartheta _{0}$ مجموعة عناصر الفرضية الصفرية .

يعتمد شكل المنحنى البياني لخاصة التشغيل على :

• الاختبار الاحصائي وتوزيعه

• مستوى الدلالة المعطاة $\alpha$

• وحجم العينة $n$