اختبار النسبة في المجتمع الثنائي

اختبار النسبة في المجتمع الثنائي,مثال لاختبار نسبة المجتمع,مثال أخر لاختبار نسبة المجتمع

9.3 اختبار النسبة في المجتمع الثنائي

نفرض المتغير العشوائي $X$ له قيمتين ممكنتين فقط , ندعو المجتمع الاحصائي الى $X$ بالثنائي اذا $X$ هو متغير المؤشر.

يخزن المعلومات حول وجود (أو عدم وجود) الخواص يمكننا القيام بالاستدلال الاحصائي حول نسبة العناصر في المجتمع والتي تملك الخاصة $\pi$ أو لا تملكها $1-\pi$

كاختبارات عددية أخرى يتعلق الاستدلال بالقيمة النظرية هنا $\pi _{0}$. والتي تمثل النسبة النظرية لعناصر المجتمع والتي لها نفس الخاصة.

سنعرض اجراءات الاختبار الاحصائي المبنية على العينة العشوائية البسيطة والحجم $n$ وهذا يضمن أن متغيرات العينة $X_{1},\ldots ,X_{n}$ وهي متغيرات المؤشر مع النواتج المقاسة اما 0 أو 1.

وهي متغيرات لها توزيع بيرنولي مستقلة ومتماثلة وكالعادة يشار لمستوى الدلالة بواسطة $\alpha$.

الفرضيات

اعتمادا على تطبيق الاختبارات الثنائية الجانب أو الأحادية الجانب والمصاغة كالتالي:

الاختبار الثنائي الجانب:

$H_{0}:\;\pi =\pi _{0},\quad H_{1}:\;\pi \neq \pi _{0}$

الاختبار الأحادي الجانب الأيمن:

$H_{0}:\;\pi \leq \pi _{0},\quad H_{1}:\pi >\pi _{0}$

الاختبار الأحادي الجانب الأيسر:

$H_{0}:\pi \geq \pi _{0},\quad H_{1}:\pi <\pi _{0}$

الاختبار الاحصائي وتوزيعه, مجالات القرار

نسبة العينة:

${\widehat {\pi }}={\frac {X}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

هي تقدير مناسب لعنصر المجتمع $\pi$, المقدر هو

$X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

التحويل البسيط الى ${\widehat {\pi }}$, حيث تحتوي كل المعلومات الهامة , وهي عدد العناصر في العينة التي تملك هذه الخاصة, كما شاهدنا سابقا , $X$ لا تتبع التوزيع الثنائي مع العناصر $n$ و $\pi$

$\pi :\;X\sim B(n;\pi )$

نختار $n$ بواسطة متخذ القرار , $\pi$ هي الوحيدة المتبقية

يحتاج العنصر ليكمل تحديد التوزيع الثنائي , نفرض $\pi$ ليكون ${\widehat {\pi }}$ نحدد توزيع الاختبار الاحصائي الذي يعطي النسبة النظرية ${\widehat {\pi }}$ والسائد في المجتمع : $\pi =\pi _{0}$

حينئذ يصبح التقدير $X$ اختبارنا الاحصائي حيث له التوزيع الثنائي مع العناصر $n$ و $\pi _{0}$ تحت الفرضية $H_{0}$

$V=X{\mbox{ }}H_{0}\sim B(n;\;\pi _{0})$

يحتوي مجال الرفض للفرضية الصفرية كل القيم الفعلية الى $V$, لأجل الاحتمالات التجميعية التي لا تتجاوز مستوى الدلالة $\alpha$

يمكن قراءة القيم الحرجة من الجدول العددي لتابع التوزيع التجميعي $F_{B}$ من $B(n;\pi _{0})$ لدينا القواعد التالية :

الاختبار الثنائي الجانب:

القيمة الحرجة الدنيا $x_{u}$ هي القيمة الفعلية الى $X$ , حيث يتجاوز تابع التوزيع التجميعي القيمة $\alpha /2$

$F_{B}(x_{u}-1)\leq \alpha /2$ و $F_{B}(x_{u})>a/2$.

القيمة الحرجة العليا $x_{o}$ هي دليل لتابع التوزيع التجميعي $F_{B}(x)$ والذي يعود للاحتمال المساوي أو أكبر من $1-\alpha /2$

$F_{B}(x_{o}-1)<1-\alpha /2$ و $F_{B}(x_{o})\geq 1-\alpha /2$.

يعطى مجال الرفض لأجل $H_{0}$ بواسطة

$\left\{v|v<x_{u}{\mbox{ , }}v>x_{o}\right\}$

$P\left(V<x_{u}|\pi _{0}\right)+P\left(V>x_{o}|\pi _{0}\right)\leq \alpha$.

بحيث يعطى مجال القبول لأجل $H_{0}$ بواسطة:

$\left\{v|x_{u}\leq v\leq x_{o}\right\}$

حيث:

$P\left(x_{u}\leq V\leq x_{o}|\pi _{0}\right)\geq 1-\alpha$.

الاختبار الأحادي الجانب الأيمن:

القيمة الحرجة $c$ هي القيمة الفعلية الأصغر للاختبار الاحصائي والتي تحدث مع الاحتمال التجميعي , على الأقل : $1-\alpha$

$F_{B}\left(c-1\right)<1-\alpha$ و $F_{B}\left(c\right)\geq 1-\alpha$.

مجال الرفض للفرضية $H_{0}$ هو

$\left\{v|v>c\right\}$

بحيث

$P\left(V>c|\pi _{0}\right)\leq \alpha$

مجال القبول للفرضية $H_{0}$ هو

$\left\{v|v\leq x_{c}\right\}$

بحيث

$P\left(V\leq x_{c}|\pi _{0}\right)\geq 1-\alpha$.

الاختبار الأحادي الجانب الأيسر:

تحدد القيمة الحرجة $c$ كأصغر قيمة فعلية للاختبار الاحصائي والتي تحدث مع الاحتمال التجميعي على الأقل $\alpha$

$F_{B}\left(c-1\right)\leq \alpha$ و $F_{B}\left(c\right)>\alpha$.

مجال الرفض للفرضية $H_{0}$ هو

$\left\{v|v<c\right\}$

بحيث

$P\left(V<c|\pi _{0}\right)\leq \alpha$.

مجال القبول للفرضية $H_{0}$ هو

$\left\{v|v\geq c\right\}$

بحيث

$P\left(V\geq c|\pi _{0}\right)\geq 1-\alpha$.

لما $V=X$ متغير عشوائي منقطع , لن تكون مستوى الدلالة $\alpha$ المعطاة بكاملها.

مستوى الدلالة الفعلية سيبلغ فقط لذلك المستوى وسيكون عادة أصغر.

نعطي حجم العينة $n$ كبيرة بشكل كافي , نعاير التقدير ${\widehat {\pi }}$ ليعطي الاختبار الاحصائي:

$V={\frac {{\widehat {\pi }}-\pi _{0}}{\sigma _{0}\left({\widehat {\pi }}\right)}}={\frac {{\widehat {\pi }}-\pi _{0}}{\sqrt {\frac {\pi _{0}\left(1-\pi _{0}\right)}{n}}}}$

هنا,$\sigma _{0}\left({\widehat {\pi }}\right)$ هو الانحراف المعياري لتابع التقدير ${\widehat {\pi }}$ تحت فرض $H_{0}$

تحت $H_{0}$, $V$ له توزيع طبيعي معياري تقريبي (بمعنى: طبيعي مع المتوسط 0 والتباين 1 ).

يمكن أخذ القيم الحرجة لمستوى الدلالة المعطاة من جدول تابع التوزيع الطبيعي المعياري التجميعي.

تحدد مجالات القرار للاختبار الثنائي الجانب الأحادي الجانب بنفس الطريقة كما في اختبار متوسط المجتمع التقريبي لأجل $\sigma$ المجهولة

في الواقع , الفرضيات حول النسبة هي الفرضيات حول التوقع (لمتغير المؤشر الثنائي): $E({\widehat {\pi }})=\pi$

العينة وحساب الاختبار الاحصائي:

سحبت العينة من الحجم $n$ , لدينا القيم الفعلية لمتغيرات العينة $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ويمكن حساب القيمة الفعلية للاختبار الاحصائي $V$.

قرار الاختبار والتعاريف:

شاهد الملاحظات لاختبار $\mu$

منحنى القوة:

يبنى منحنى القوة لاختبار العينة الكبير على

$V={\frac {{\widehat {\pi }}-\pi _{0}}{\sigma _{0}\left({\widehat {\pi }}\right)}}={\frac {{\widehat {\pi }}-\pi _{0}}{\sqrt {\frac {\pi _{0}\left(1-\pi _{0}\right)}{n}}}}$

يمكن حسابه لكل مواقف الاختبار وبنفس الطريقة كمنحنى القوة لاختبارات متوسط المجتمع.

يبنى منحنى القوة للاختبار على $V=X$ ويحسب باستعمال التوزيع الثنائي لأجل كل $0=\pi =1$ و $n$. ثابتة .

من التعريف :

$G\left(\pi \right)=P\left(V=X\in {\mbox{ }}H_{0}|\pi \right)$

ينتج:

للاختبار الثنائي الجانب:

$G\left(\pi \right)=P\left(V<x_{u}|\pi \right)+P\left(V>x_{o}|\pi \right)=P\left(V\leq x_{u}-1|\pi \right)+\left[1-P\left(V\leq x_{o}|\pi \right)\right]$

للاختبار الأحادي الجانب الأيمن:

$G\left(\pi \right)=P\left(V>x_{c}|\pi \right)=1-P\left(V\leq x_{c}|\pi \right)$,

للاختبار الأحادي الجانب الأيسر:

$G\left(\pi \right)=P\left(V<x_{c}|\pi \right)=P\left(V\leq x_{c}-1|\pi \right)$.

لأجل $\pi =\pi _{0}$ يساوي منحنى القوة لمستوى الدلالة الفعلي $\alpha$