مثال لاختبار نسبة المجتمع

قررت ادارة بنك تقديم أشكال بطاقات الائتمان المحددة اذا نسبة الزبائن مع تسديد المخالفات لا تكون أقل من 20 بالمئة.

يجري الاحصائيون الاختبار الاحصائي ليسألوا حول ابقاء احتمال عدم اتخاذ القرار لتحسين اجراء نسبة الائتمان رغم النسبة تكون 20 (بمعنى نحتفظ $\alpha$ منخفضة).

يعرف المتغير العشوائي $X$ : حادث الائتمان أو مشاكل التسديد كمتغير مؤشر يأخذ الصفر (لا) أو واحد ( نعم).

النسبة الحالية للزبائن $\pi$ ولديهم مشكلة مع خدمة الدين والنسبة مجهولة القيمة النظرية لاختبار نسبة المجتمع هي $\pi _{0}=0.2$.

الفرضيات :

الانحرافات عن العنصر النظرية باتجاه واحد هو موضوع اهتمامنا , لهذا سنطبق الاختبار الأحادي الجانب يأمل

البنك اثبات أن اجراءات التقدير ليست كافية بمعنى: تعرض نسبة الدائنين المخالفات في سداد القروض

تكون النسبة أقل من 20% يصاغ هذا الادعاء كفرضية بديلة:

$H_{0}:\;\pi \geq \pi _{0}=0,2\quad H_{1}:\;\pi <\pi _{0}=0,2$

خواص هذا الاختبار بالنسبة لمدير البنك المتطلبات التي ينبغي تقييمها لضمان الاختبار يلبي احتياجاتهم.

سيعمل خطأ النوع الأول اذا تم رفض الفرضية الصفرية

$'H_{1}'|H_{0}=$ "لدينا عدم رفض نسبة الدائنين أصغر من 20%; | تشكل نسبة الدائنين على الأقل$20\%$; سيعاد اجراء الائتمان

اذا نتائج الاختبار تظهر قبول الفرضية الصفرية سيحدث خطأ النوع الثاني

$'H_{0}'|H_{1}=$ "عدم رفض نسبة الدائنين , لا تشكل نسبة الدائنين أكثر من$20\%$; | لا حاجة للعمل

يقدم خطأ النوع الأول خطر مدير البنك يريد الحد , يعطى مستواه الأعظمي بواسطة مستوى الدلالة , وقد حدد لأدنى مستوى $\alpha =0,05$.

يقدم خطأ النوع الثاني : خطر التقديم المكلف لاجراءات تقدير ائتمان جديدة بدون حاجة الادارة للموافقة , تأثير هذا السيناريو على ربحية البنوك من الصعب تقييمه.

ستقود الاجراءات الجديدة لاعادة تسعير القروض , يبنى كلا البديلين التاليين على الاختبار فوق.

تسحب العينة العشوائية من مجتمع 10000 دائن بدون اعادة , هذا مقبول اذا $n/N\leq 0,05$, عند ذلك تعتبر العينة العشوائية بالبسيطة.

البديل الأول:

للحد من التكاليف نختار حجم العينة $n=30$ , تتطلب العينة النظرية $n/N\leq 0,05$ لتكون كافية.

الاختبار الاحصائي وتوزيعه, مجالات القرار:

المقدر $X$ : عدد الزبائن مع المخالفات في تسديد الدين في العينة من الحجم 30 , ويخدم مباشرة اختبارنا الاحصائي $V$, تحت الفرضية $H_{0}$

$V=X$ له التوزيع الثنائي

$B(30;0,2)$ , تدعم قيمة $V$ الصغيرة الفرضية البديلة .

القيمة الحرجة $c$ هي القيمة الفعلية الأصغر الى $X$ أي $F_{B}(x)$ تساوي أو أكبر من $\alpha =0,05$ بمعنى يكون كافي $F_{B}(x_{c}-1)\leq 0,05$ و

$F_{B}(x_{c})>0,05$

في الجدول العددي لتابع التوزيع التجميعي $B(30;0,2)$ نجد $x_{c}=3$ ولهذا لدينا مجالات القرار التالية:

مجال الرفض لأجل $H_{0}$

$\left\{v|v<3\right\}=\left\{0,1,2\right\}$

مع

$P\left(V<3|0,2\right)=0,0442$.

مجال القبول لأجل $H_{0}$

$\left\{v|v\geq 3\right\}=\left\{3,4,\ldots ,30\right\}$

مع

$P\left(V\geq 3|0,02\right)=0,9558$.

العينة وحساب الاختبار الاحصائي:

لدينا 30 دائن مختارين عشوائيا وقادرين على تسديد الدين نفرض 5 منهم غير قادرين على الوفاء بالتزاماتهم التعاقدية .

قرار الاختبار والتعاريف:

لدينا $v=x=5$ يعود لمجال القبول للفرضية $H_{0}$

سنقبل الفرضية الصفرية حتى ولو نسبة العينة $5/30=0,167$ أصغر من النسبة النظرية $\pi _{0}=0,20$ , لا نستطيع الاعتقاد بأن $H_{0}$ خاطئة , عند مستوى الدلالة $\alpha =0,05$

لا يعتبر الاختلاف كدلالة احصائية من المهم ملاحظة أنها ليست مجرد قيمة تقدير النقطة المقارنة للقيمة النظرية والتي تعود لقبول أو رفض الفرضية الصفرية , لكن نأخذ المجالات اعتبار الخاصة العشوائية للتقدير , على أساس العينة العشوائية من الحجم $n=30$ ومستوى الدلالة $\alpha =0,05$.

لسنا قادرين أن نظهر احصائيا بأن نسبة الدائنين بشكل دلالي أصغر من 20 بالمئة.

بالتالي سيعيد البنك النظر ويحاول تحسين اجراءات الموافقة على الائتمان.

القوة:

قبول الفرضية الصفرية عملنا خطأ النوع الثاني , والذي يحدث عندما الفرضية البديلة صحيحة $('H_{0}'|H_{1})$

دعنا نحسب احتمال خطأ النوع الثاني لقيمة العنصر الحقيقية $\pi =0,15$ , ما هو

الاحتمال لقبول الفرضية الصفرية في الاختبار الأحادي الجانب الأيسر مع $\pi _{0}=0,2,\;n=30,\;\alpha =0,05$

و $c=3$ باعطاء نسبة المجتمع الصحيحة $\pi =0,15$ وحينئذ الفرضية الصفرية خاطئة.

$\beta \left(\pi =0,15\right)=P\left('H_{0}'|H_{1}\right)=P\left(V=X\in {\mbox{ }}H_{0}|\pi =0,15\right)=P\left(V\geq 3|\pi =0,15\right)$

نحسب

$P\left(V\geq 3|\pi =0,15\right)=1-P\left(V<3|\pi =0,15\right)=1-P\left(V\leq 2|\pi =0,15\right)=1-0,1514=0,8486$

حيث $P\left(V\leq 2|\pi =0,15\right)$ تأخذ من جدول تابع التوزيع التجميعي لأجل $B\left(30;\;0,15\right)$

التعريف: نعطي $\pi =0,15$ النسبة الصحيحة ,$84,86\%$ من كل العينات من الحجم$n=30$ , لن نكون قادرين على التمييز بين العنصر الحقيقي والنظري $\pi _{0}=,20$,

دفع البنك لاجراء التحسينات المثالية لاجراءات الائتمان مع الاحتمال 0,8486 في التقرير لمراقبة احتمال خطأ النوع الأول الأعظمي.

يقبل البنك احتمالات خطأ النوع الثاني يزود الاحصائيون الادارة مع الأشكال البيانية لتابع القوة لأجل أي قيمة عنصر حقيقية $\pi$

بالطبع قبول الفرضية الصفرية سيكون أيضا القرار الصحيح , نفرض على سبيل المثال , بأن النسبة الحقيقية للدائنين هي $\pi =0,25$

احتمال قبول الفرضية الصفرية وحينئذ عمل القرار الصحيح , الاختبار الأحادي الجانب الأيسر مع $\pi _{0}=0,2,\;n=30,\;\alpha =0,05$ و

$c=3$

$P\left(V=X\in {\mbox{ }}H_{0}|\pi =0,25\right)=P\left(V\geq 3|\pi =0,25\right)=P\left('H_{0}'|H_{0}\right)=1-\alpha ^{*}$

لدينا

$P\left(V\geq 3|\pi =0,25\right)=1-P\left(V\leq 2|\pi =0,25\right)=1-P\left(V\leq 2|\pi =0,25\right)=1-0,0106=0,9894$

حيث $P\left(V\leq 2|\pi =0,25\right)$, تشاهد في الجدول الرقمي $B\left(30;\;0,25\right)$ كاحتمال تراكمي للقيم $C=2$

تحمل هذه الحسابات لأي قيمة عنصر مطلوبة ضمن فضاء كامل العناصر $\pi$ هنا ينتج منحنى القوة $G(\pi )$ أو $1-G(\pi )$ الاحتمالات لعمل القرار الصحيح أو خطأ النوع الأول أو خطأ النوع الثاني.

$pi$	الفرضية الصحيحة	$G\left(\pi \right)$	$1-G\left(\pi \right)$
0	$H_{1}$	$1=1-\beta$	$0=\beta$
0,05	$H_{1}$	$0,8122=1-\beta$	$0,1878=\beta$
0,10	$H_{1}$	$0,4114=1-\beta$	$0,5886=\beta$
0,15	$H_{1}$	$0,1514=1-\beta$	$0,8486=\beta$
0,20	$H_{0}$	$0,0442=\alpha _{a}$	$0,9558=1-\alpha _{a}$
0,25	$H_{0}$	$0,0106=\alpha$	$0,9894=1-\alpha$
0,30	$H_{0}$	$0,0021=\alpha$	$0,9979=1-\alpha$
0,35	$H_{0}$	$0,0003=\alpha$	$0,9997=1-\alpha$
0,40	$H_{0}$	$0=\alpha$	$1=1-\alpha$

يبين الشكل التالي الشكل البياني لمنحنى القوة للاختبار الأحادي الجانب الأيسر مع العناصر $\pi _{0}=0,20,\;n=30,\;\alpha =0,05$ و $c=3$.

البديل الثاني:

يحاول الاحصائيون اثبات كفاية العنصر $\alpha =0,05$ بواسطة الادارة للحصول على احتمال خطأ النوع الأول والاحتفاظ بخطأ النوع الثاني بأدنى مستوى ممكن .

وندرك العلاقة ما بين خطأ $\alpha$ و $\beta$

وتركز على احتمالات تخفيض الاحتمالات المرتبطة بزيادة حجم العينة $n$ ولذلك نعمل القرار الاقتصادي تقديرات التكاليف بالاشتراك مع تقدير الفائدة لارتفاع الثقة وتقود لاختيار $n=350$

$n/N\leq 0,05$ صغير بشكل كافي , كقاعدة للعينة العشوائية البسيطة بدون اعادة .

الاختبار الاحصائي وتوزيعه , مجالات القرار:

نستخدم الاختبار الاحصائي المعياري

$V={\frac {{\widehat {\pi }}-\pi _{0}}{\sigma _{0}\left({\widehat {\pi }}\right)}}={\frac {{\widehat {\pi }}-\pi _{0}}{\sqrt {\frac {\pi _{0}\left(1-\pi _{0}\right)}{n}}}}$

تحت الفرضية $H_{0}$ تقرب للتوزيع الطبيعي مع العناصر $\mu$ و $\sigma =1$

تقترح نظرية العينات الكبيرة بأن التقريب كافي لحجم العينة $n=350$ , من جدول التوزيع الطبيعي المعياري التجميعي نأخذ $N(0;1):\;c=z_{0,95}=1,645$, لتكون كافية $P(V\leq c)=1-\alpha =0,95$

ينتج من التناظر أن $-c=-1,645$ ولدينا كمجال رفض تقريبي لأجل $H_{0}$

$\left\{v|v<-1,645\right\}$

و كمجال قبول تقريبي لأجل $H_{0}$

$\left\{v|v\geq -1,645\right\}$

العينة وحساب الاختبار الاحصائي:

من مجتمع 10000 دائن, 350 مختارين بشكل عشوائي منهم 63 لديهم مشاكل في سداد الدين على الأقل مرة لتاريخ التسديد هذه النسبة ضمن العينة تكون 0,18 , باستبدال هذه النسبة في الاختبار الاحصائي نحصل على :

$v={\frac {0,18-0,2}{\sqrt {\frac {0,2\cdot 0,8}{350}}}}=-0,935$

قرار الاختبار والتعاريف:

لما $v=-0,935$ تقع في مجال القبول للفرضية $H_{0}$ , سنقبل الفرضية الصفرية على أساس العينة من الحجم $n=350$ حيث نسبة الدائنين أقل من 20 بالمئة,

وهكذا تبدأ ادارة البنك في مراجعة اجراءات الائتمان

احتمال خطأ النوع الثاني:

تدفع ادارة المصرف لقبول عبارة الفرضية الصفرية بذلك عملت خطأ النوع الثاني والذي يظهر اذا النسبة الحقيقية 10000 أصغر من 0.2

دعنا نختبر احتمال هذا الحدوث لنسبة المجتمع الحقيقية النظرية $\pi =0,15$ بمعنى :

$\beta (\pi =0,15)=P('H_{0}'|H_{1})$.

أولا نحدد النسبة الحرجة $p_{c}$ المطابقة للقيمة الحرجة المحسوبة باستعمال التقريب الطبيعي:

$-c=(p_{c}-\pi _{0})/\sigma ({\widehat {\pi }})$

ينتج

$p_{c}=\pi _{0}-c\cdot \sigma ({\widehat {\pi }})=0,2-1,645(0,2\cdot 0,8/350)=0,1648$

$\beta (\pi )$هو احتمال تابع العينة ${\widehat {\pi }}$

بفرض القيمة من مجال القبول للفرضية الصفرية نعطي للعنصر الحقيقي $\pi$, يعود للفرضية البديلة :

$\beta \left(\pi =0,15\right)=P\left({\widehat {\pi }}\geq p_{c}|\pi =0,15\right)=P\left({\widehat {\pi }}\geq 0,1648|\pi =0,15\right)$

لتحديد هذا الاحتمال على قاعدة الجدول الرقمي للتوزيع الطبيعي المعياري نعاير ذلك باستخدام $E\left({\widehat {\pi }}\right)=\pi =0,15$

و $Var\left({\widehat {\pi }}\right)=\pi \left(1-\pi \right)/n=0,15\cdot (0,85)/350$

$=P\left({\widehat {\pi }}\geq p_{c}|\pi =0,15\right)=P\left({\frac {{\widehat {\pi }}-\pi _{0}}{\sqrt {\frac {\pi \left(1-\pi \right)}{n}}}}\geq {\frac {p_{c}-\pi _{0}}{\sqrt {\frac {\pi \left(1-\pi \right)}{n}}}}|\pi =0,15\right)$	$\beta \left(\pi =0,15\right)$
	$=P\left({\frac {0,1648-0,15}{\sqrt {\frac {0,15\cdot (0,85)}{350}}}}|\pi =0,15\right)=P\left(V\geq 0,775|\pi =0,15\right)$

نجد في جدول التوزيع الطبيعي المعياري $P\left(V\leq 0,775\right)=0,7808$ لهذا لدينا:

$\beta \left(\pi =0,15\right)=1-P\left(V\leq 0,775\right)=1-0,7808=0,2192$

لهذا بالمقارنة الى $\beta \left(\pi =0,15\right)$ من البديل الأول , تنتج زيادة حجم العينة في تخفيض كبير في احتمال خطأ النوع الثاني لأجل نسبة المجتمع الحقيقية $\pi =0,15$